Впаралелограмі тупий кут дорівнює 150°. бісектриса цього кута ділить сторону паралелограма на відрізки 16 см і 5 см , починаючи від вершини гострого кута. знайти площу паралелограма.
В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит ромб ABCD со стороной 1. Длина диагонали AC ромба равна 1,5. Основание высоты пирамиды совпадает с центром ромба и ее длина в 1,5 раза больше длины AC. Через точку A и середину ребра SC проведена секущая плоскость, образующая с плоскостью основания пирамиды угол 45 градусов. Какова площадь сечения пирамиды этой плоскостью? -------- Сделаем рисунок. Угол МАС=45º по условию и SH=AC*1,5=1,5*1,5=2,25 В треугольнике SHC точка М - середина SC; отрезок МР⊥ НС и || SH,⇒ МР - средняя линия и равен SH:2МР=2,25:2=1,125 АМ=МР:sin 45º=1,125√2=(9/8)*√2 Т.к. основание высоты совпадает с центром ромба, треугольник АSС - равнобедренный и сечение проходит через точку пересечения медиан SH и AM треугольника ASC. SO:OH=2:1 по свойству медиан. КЕ || BD Треугольники BSD и KSЕ подобны SO:SH=2:3. КЕ : BD=2/3 По свойству диагоналей параллелограмма ( а ромб - параллелограмм) D²+d²= 2 a²+2 b² АС²+ВD²=4*AB² ВD²=4-2,25=1,75 ВD=√1,75=0,5√7 KE=BD*2/3=(√7):3 Диагонали четырехугольника АКМЕ взаимно перпендикулярны. Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. S АКМЕ=0,5*АМ*КЕ*sin 90º=0,5*{(9/8)*√2 *(√7):3}*1=(3√14):16
Какова площадь сечения пирамиды этой плоскостью?
--------
Сделаем рисунок.
Угол МАС=45º по условию и
SH=AC*1,5=1,5*1,5=2,25
В треугольнике SHC точка М - середина SC; отрезок МР⊥ НС и || SH,⇒
МР - средняя линия и равен SH:2МР=2,25:2=1,125
АМ=МР:sin 45º=1,125√2=(9/8)*√2
Т.к. основание высоты совпадает с центром ромба, треугольник АSС - равнобедренный и сечение проходит через точку пересечения медиан SH и AM треугольника ASC.
SO:OH=2:1 по свойству медиан.
КЕ || BD
Треугольники BSD и KSЕ подобны
SO:SH=2:3.
КЕ : BD=2/3
По свойству диагоналей параллелограмма ( а ромб - параллелограмм)
D²+d²= 2 a²+2 b²
АС²+ВD²=4*AB²
ВD²=4-2,25=1,75
ВD=√1,75=0,5√7
KE=BD*2/3=(√7):3
Диагонали четырехугольника АКМЕ взаимно перпендикулярны.
Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.
S АКМЕ=0,5*АМ*КЕ*sin 90º=0,5*{(9/8)*√2 *(√7):3}*1=(3√14):16
Гипотенуза треугольника равна √(3²+4²) =√25 = 5.
Длину биссектрисы угла В находим по формуле:
mb = (2/(a+c))*√(acp(p-b))/
Полупериметр р = (3+4+5)/2 = 12/2 = 6.
mb = (2*(3+5))*√(3*5*6*(6-4)) = (2/8)*√180 = (1/4)*6√5 = (3/2)*√5.
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения О делятся пополам.
Из прямоугольного треугольника BFO находим сторону ромба BF:
BF = ВО / cos (B/2)/
cos B = 3/5.
cos(B/2) = √((1+cos B)/2) = √(1+(3/5))/2) = √(8/10) = √(4/5) = 2/√5.
Тогда BF = (((3/2)*√5)/2) / (2/√5) = (3√5*√5) / (4*2) = 15 / 8 = 1,875.