Вписанная окружность касается оснований bc и ad равнобедренной трапеции abcd в точках q и p соответственно. известно, что pc = √17 и aq = 4√2 . найдите радиус этой окружности и площадь трапеции abcd

Не любая
, а биссектриса к основанию ( а не к боковой стороне) совпадает с высотой и медианой.
 Извините, не прочитал, что в равностороннем. Для равнобедренного рассуждение такое:
Это вытекает из того, что биссектриса делит треугольник на два равных ( по первому признаку, т.е. по двум сторонам и углу между ними). В этих треугольниках напротив равных углов -равные стороны: отрезки на которые биссектриса делит основание. Значит она медиана. Два угла с вершиной на середине основания тоже равны. А так как они смежные т их сумма равна 180 градусам, то и они равны 90 градусам. Значит биссектриса совпадает с высотой
В равностороннем - то же рассуждение для любой стороны.
.

Пусть a - основание, h - высота к основанию, b - боковая сторона, H - высота к ней.
Поскольку ha = Hb = 2S; то H/2h = a/2b - это, очевидно, синус половины угла при вершине. Отсюда легко найти порядок построения.
1) проводятся две взаимно перпендикулярные прямые "1" и "2" , пересекающиеся в точке О.
2) вдоль прямой "1" от точки О откладывается h, это вершина А нужного треугольника.
3) параллельно этой прямой  "1" НА РАССТОЯНИИ H от неё проводится еще одна прямая α;
4) рисуется окружность радиуса 2h с центром в точке А. Фиксируется точка пересечения этой окружности с прямой α - точка В1.
5) точка В1 соединяется с А, точка пересечения этой прямой с прямой "2" - вершина В нужного треугольника.
Это всё.