Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются. Четырехугольники
Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными . Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.
Четырехугольники бывают выпуклые (как ABCD) и невыпуклые (A1B1C1D1). Виды четырёхугольников Параллелограмм
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. Свойства параллелограммаСвойства параллелограмма
* противолежащие стороны равны; * противоположные углы равны; * диагонали точкой пересечения делятся пополам; * сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°; * сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:
d12+d22=2(a2+b2). Признаки параллелограмма
Четырехугольник является параллелограммом, если:
1. Две его противоположные стороны равны и параллельны. 2. Противоположные стороны попарно равны. 3. Противоположные углы попарно равны. 4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Трапеция
Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие непараллельны. Трапеция
Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.
Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой) , если ее боковые стороны равны.
Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной. Свойства трапеции
* ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме; * если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны; * если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность; * если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.
Признаки трапеции
Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны Прямоугольник
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
Свойства прямоугольникаСвойства прямоугольника
* все свойства параллелограмма; * диагонали равны.
Признаки прямоугольника
Параллелограмм является прямоугольником, если:
1. Один из его углов прямой. 2. Его диагонали равны.
Ромб
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. Свойства ромбаСвойства ромба
* все свойства параллелограмма; * диагонали перпендикулярны; * диагонали являются биссектрисами его углов.
Признаки ромба
1. Параллелограмм является ромбом, если: 2. Две его смежные стороны равны. 3. Его диагонали перпендикулярны. 4. Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.
Квадрат
Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Свойства квадратаСвойства квадрата
* все углы квадрата прямые; * диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
Признаки квадрата
Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.
Точку S переименую в точку М (в формулах появится величина S - площадь треугольника) пирамида МABC. по условию точка М отдалена на одинаковом расстоянии от всех вершин треугольника АВС, => высота МО=12 см проектируется в центр описанной около треугольника окружности радиус описанной около треугольника окружности вычисляется по формуле: прямоугольный ΔАОМ: катет R=16/√15 катет ОМ=12 -высота пирамиды (расстояние от точки М до плоскости треугольника АВС) гипотенуза АМ -расстояние от точки М до вершины треугольника, найти по теореме Пифагора: АМ²=АО²+ОМ²
Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными . Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.
Четырехугольники бывают выпуклые (как ABCD) и
невыпуклые (A1B1C1D1).
Виды четырёхугольников
Параллелограмм
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
Свойства параллелограммаСвойства параллелограмма
* противолежащие стороны равны;
* противоположные углы равны;
* диагонали точкой пересечения делятся пополам;
* сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
* сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:
d12+d22=2(a2+b2).
Признаки параллелограмма
Четырехугольник является параллелограммом, если:
1. Две его противоположные стороны равны и параллельны.
2. Противоположные стороны попарно равны.
3. Противоположные углы попарно равны.
4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Трапеция
Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие непараллельны. Трапеция
Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.
Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой) , если ее боковые стороны равны.
Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.
Свойства трапеции
* ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;
* если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;
* если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;
* если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.
Признаки трапеции
Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны
Прямоугольник
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
Свойства прямоугольникаСвойства прямоугольника
* все свойства параллелограмма;
* диагонали равны.
Признаки прямоугольника
Параллелограмм является прямоугольником, если:
1. Один из его углов прямой.
2. Его диагонали равны.
Ромб
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Свойства ромбаСвойства ромба
* все свойства параллелограмма;
* диагонали перпендикулярны;
* диагонали являются биссектрисами его углов.
Признаки ромба
1. Параллелограмм является ромбом, если:
2. Две его смежные стороны равны.
3. Его диагонали перпендикулярны.
4. Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.
Квадрат
Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Свойства квадратаСвойства квадрата
* все углы квадрата прямые;
* диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
Признаки квадрата
Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.
пирамида МABC.
по условию точка М отдалена на одинаковом расстоянии от всех вершин треугольника АВС, => высота МО=12 см проектируется в центр описанной около треугольника окружности
радиус описанной около треугольника окружности вычисляется по формуле:
прямоугольный ΔАОМ:
катет R=16/√15
катет ОМ=12 -высота пирамиды (расстояние от точки М до плоскости треугольника АВС)
гипотенуза АМ -расстояние от точки М до вершины треугольника, найти по теореме Пифагора:
АМ²=АО²+ОМ²