Дан треугольник с вершинами А(2,4) В(2,7) и С(6,4). Стороны треугольника АВС: a = BC, b = AC, c = AB. 1) Центр вписанной окружности находится на пересечении биссектрис.
Свойство биссектрисы треугольника:
Биссектриса треугольника делит третью сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
Проведём биссектрисы углов В и С. Для этого высчитываем координаты точек К и М пересечения биссектрис со сторонами, используя их свойство.
Далее по координатам вершин В и С и найденных точек К и М определяем уравнения биссектрис.
Решая систему полученных уравнений находим координаты центра вписанной окружности.
Детальные расчёты приведены в приложении.
Но для данной задачи есть более простое решение.
Находим длины сторон треугольника.
АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √9 = 3, BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √25 = 5, AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √16 = 4. Отсюда видно, что треугольник прямоугольный,
r =(a+b-c)2 = (3+4-5)/2 = 1.
R = abc/(4S) = (3*4*5)/(4*((1/2)*3*4)) = 60/24 = 2,5.
2) координаты центра описанной окружности находятся на пересечении срединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
По формуле Герона вычислим площадь треугольника
полупериметр
p = (40 + 40 + 48)/2 = 40 + 24 = 64 см
Площадь
S² = p(p-a)(p-b)(p-c) = 64*(64-40)(64-40)(64-48) = 64*24²*16
S = √(64*24²*16) = 8*24*4 = 768 см
---
Радиус описанной окружности
R = abc/(4S) = 40*40*48 / (4 * 768) = 10 * 40 * 2 / 32 = 5 * 5 = 25 см
---
ΔАВЦ - равнобедренный, т.к. две его стороны - это радиусы описанной окружности ΔАВД
ЦБ - высота ΔАВЦ, одновременно и его биссектриса и сторону АВ делит пополам
БВ = АВ/2 = 48/2 = 24 см
По т. Пифагора для синего треугольника
БЦ² + БВ² = ВЦ²
х² + 24² = 25²
x² = 25² - 24² = (25 + 24)(25 - 24) = 49
x = 7 см
---
Аналогично по т. Пифагора для малинового треугольника
у² + 20² = 25²
y² = 25² - 20² = (25 + 20)(25 - 20) = 45*5 = 9*25
y = 3*5 = 15 см
Стороны треугольника АВС: a = BC, b = AC, c = AB.
1) Центр вписанной окружности находится на пересечении биссектрис.
Свойство биссектрисы треугольника:
Биссектриса треугольника делит третью сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
Проведём биссектрисы углов В и С. Для этого высчитываем координаты точек К и М пересечения биссектрис со сторонами, используя их свойство.
Далее по координатам вершин В и С и найденных точек К и М определяем уравнения биссектрис.
Решая систему полученных уравнений находим координаты центра вписанной окружности.
Детальные расчёты приведены в приложении.
Но для данной задачи есть более простое решение.
Находим длины сторон треугольника.
АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √9 = 3,BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √25 = 5,
AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √16 = 4.
Отсюда видно, что треугольник прямоугольный,
r =(a+b-c)2 = (3+4-5)/2 = 1.
R = abc/(4S) = (3*4*5)/(4*((1/2)*3*4)) = 60/24 = 2,5.
2) координаты центра описанной окружности находятся на пересечении срединных перпендикуляров к сторонам треугольника.