Вправильной четырехугольной пирамиде равсd каждое ребро равно 12. на ребре рс отмечена точка к так, что рк: кс=1: 3. а) докажите, что линия пересечения плоскостей авк и рсd параллельна плоскости авс. б) найдите площадь сечения пирамиды плоскостью авк.
1) Отметим для определенности вершины основания пирамиды таким образом:
На заднем плане слева направо D и A, на переднем слева направо C и B
AB паралл CD. CD∈PCD. AB∉PCD.
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. Значит, AB парал плоскости PCD. Или грань PCD парал AB.
Точка K∈PCD. В этом случае секущая плоскость будет пересекать эту грань по отрезку KL парал следу AB. L∈PD⇒ABKL - секущая плоскость. Это будет равнобедренная трапеция
KL - линия пересечения плоскостей ABK и PCD.
KL∉ABC - плоскости основания пирамиды
KL парал AB - по построению
AB∈ плоскости ABC⇒KL парал ABC по выше указанной теореме.
2) Нужно найти площадь ABKL. Отметим точки и соединим их:
E - середина KL; N - середина AB. EN - высота трапеции.
S=1/2(KL+AB)*EN
AB=12 - по условию
a) Для нахождения KL рассмотрим тр-ки PCD и PKL. Они подобны. Из подобия записываем пропорциональность сторон:
CD:KL=PC:PK
РК:КС=1:3⇒PC:CK=4:1⇒CD:KL=4:1⇒KL=1/4*CD=1/4*12=3
Итак, KL=3
б) Теперь займемся поиском EN.
Проведем апофемы PM и PN, где PM∈ грани PCD, PN∈ грани PAB
O - центр основания (точка пересечения диагоналей AC и BD)
Соединим точки M и N. O∈MN. MN=12
Так как каждое ребро равно 12, то боковые грани - равносторонние тр-ки
Апофемы - высоты равносторонних тр-ков. Если a - сторона правильного тр-ка, то a√3/2 - его высота. Значит, PM=PN=12*√3/2=6√3
Построим отдельно тр-ник MPN. Он - равнобедренный
Соединяем точки E и N.
PO - его высота. MO=ON=6⇒по теореме Пифагора
PO^2=PM^2-MO^2=(6√3)^2-6^2=6^2(3-1)=36-2=72⇒PO=√72=√36*2=6√2
Проведем EF парал PO. Тогда EN можно найти из тр-ка EFN. Для этого нужно знать длины отрезков EF и FN.
Из подобия выше рассмотренных тр-ков PM:PE=4:1
Рассмотрим тр-ки OMP и FME. Они подобны⇒
MP:ME=PO:EF=MO:MF
MP:ME=4:3⇒EF=3/4*PO=3/4*6√2=9/2*√2; MF=3/4*MO=3/4*6=9/2
FN=FO+ON=OM-MF+ON=MN-MF=12-9/2=15/2
EN^2=EF^2+FN^2=(9/2*√2)^2+(15/2)^2=(3/2)^2*3^2*2+(3/2)^2*5^2=
=(3/2)^2*(18+25)=43*(3/2)^2⇒
EN=3/2*√43 - высота трапеции
S=1/2(KL+AB)*EN=1/2*(3+12)*3/2*√43=45√43/4
ответ: S=45√43/4