В
Все
М
Математика
О
ОБЖ
У
Українська мова
Д
Другие предметы
Х
Химия
М
Музыка
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
Э
Экономика
Ф
Физика
Б
Биология
О
Окружающий мир
Р
Русский язык
У
Українська література
Ф
Французский язык
П
Психология
А
Алгебра
О
Обществознание
М
МХК
В
Видео-ответы
Г
География
П
Право
Г
Геометрия
А
Английский язык
И
Информатика
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
И
История
malygin73rus
malygin73rus
22.01.2020 16:18 •  Геометрия

Вправильной треугольной пирамиде боковое ребро, равное b, наклонено к основанию под углом a. через вершину пирамиды параллельно стороне основания проведено сечение, наклоненное к плоскости основания под углом b. определить площадь сечения.

Показать ответ
Ответ:
qwertyspro
qwertyspro
01.10.2020 06:42

Исходя из геометрии задачи и рисунка 4 в приложении, найдем высоту данной пирамиды:

sina=\frac{h}{b}

h=bsina

Так как в основании пирамиды лежит правильный треугольник, найдем радиус его основания, как показано на рисунке 3 в приложении:

tga=\frac{h}{R}

R=\frac{h}{tga}=\frac{bsina}{tga}=bcosa

Так как треугольник основания правильный, найдем величину радиуса, как показано на рисунке 3, углы при основании прямоугольных треугольника будут равны, тогда длина стороны данного треугольника будет равна:

cos30=\frac{\frac{v}{2}}{R}=\frac{v}{2R}

v=2Rcos30=R\sqrt3=b\sqrt3cosa

Так как у правильной пирамиды ребра равны, найдем величину апофемы w, исходя из прямоугольного треугольника бокой грани:

w=\sqrt{b^2-(\frac{v}{2})^2}=\sqrt{b^2-\frac{v^2}{4}}=\sqrt{b^2-\frac{3b^2cos^a}{4}}=\frac{b}{2}\sqrt{4-3cos^2a}

Так как проведенное сечение образует еще одну правильную пирамиду, с правильным треугольником в основании, как показано на рисунке 3, но полученная призма является наклонной, и высоты обеих призм совпадают, тогда можем найти высоту проведенную в сечении (обозначенную буквой g) исходя из рисунка 4:

sinB=\frac{h}{g}

g=\frac{h}{sinB}=\frac{bsina}{sinB}

Тогда используя теорему синусов найдем угол G в том же треугольнике:

\frac{g}{sinG}=\frac{w}{sinB}

sinG=\frac{gsinB}{w}=\frac{\frac{bsina}{sinB}sinB}{w}=\frac{bsina}{w}

Тогда зная углы G и B найдем величину угла T:

T=180-G-B

Угол B задан в условии а угол G будет равен:

G=arcsin(\frac{bsina}{w})=arcsin(\frac{bsina}{\frac{b}{2}\sqrt{4-3cos^2a}})=arcsin(\frac{2sina}{\sqrt{4-3cos^2a}})

Тогда угол T будет равен:

T=180-B-arcsin(\frac{2sina}{\sqrt{4-3cos^2a}})

Тогда исходя из теоремы синусов найдем длину стороны z:

\frac{z}{sinT}=\frac{g}{sinG}

z=\frac{gsinT}{sinG}=\frac{gsinT}{\frac{gsinB}{w}}=\frac{wsinT}{sinB}

Как показано на рисунке 3 величина z характеризует разность высот обоих треугольников, тогда получаем:

h_2=h_1-z где h_2высота меньшего треугольника, а h_1высота большего треугольника.

Так как треугольники правильные, высота будет вычисляться по формуле:

h=\frac{\sqrt{3}}{2}a

Получаем:

h_2=\frac{\sqrt{3}}{2}v-z=\frac{\sqrt{3}}{2}v-\frac{wsinT}{sinB}

т.к:

h_2=\frac{\sqrt{3}}{2}y

Получаем:

y=\frac{2(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}v-z)}{\sqrt{3}}=2(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}v-\frac{wsinT}{sinB}}{\sqrt{3}})

Так как сечение состит из двух прямоугльных треугольников как показано на рисунке 2, тогда его площадь будет равна:

S=\frac{gy}{2}+\frac{gy}{2}=gy

Получаем:

S=gy=\frac{bsina}{sinB}*(2(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}v-\frac{wsinT}{sinB}}{\sqrt{3}}))=

=\frac{bsina}{sinB}*(2(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}b\sqrt3cosa-\frac{wsin(180-B-arcsin(\frac{2sina}{\sqrt{4-3cos^2a}}))}{sinB}}{\sqrt{3}}))=

=\frac{2}{\sqrt{3}}*\frac{bsina}{sin^2B}*(\frac{3}{2}bcosasinB-wsin(180-B-arcsin(\frac{2sina}{\sqrt{4-3cos^2a}}))

S=\frac{2}{\sqrt{3}}*\frac{bsina}{sin^2B}*(\frac{3}{2}bcosasinB-wsin(180-B-arcsin(\frac{2sina}{\sqrt{4-3cos^2a}}))


Вправильной треугольной пирамиде боковое ребро, равное b, наклонено к основанию под углом a. через в
0,0(0 оценок)
Ответ:
FREDYPAW
FREDYPAW
01.10.2020 06:42

Для начала замечу, что сечение может быть расположено как между высотой и основанием, так между высотой и ребром.

Принцип решения один и тот же. 

--------------------------------------------------------------------------

 Из вершины пирамиды проведем наклонную SH  под углом β к плоскости ее основания.

Через Н проведем прямую КЕ║АВ

 

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости

 

АВ- не лежит в плоскости треугольника SKE,  параллельна КЕ, лежащей в этой плоскости, следовательно,  плоскость ᐃ КSЕ║АВ


Для решения задачи нужно найти высоту SН и основание KE  ᐃ КSЕ.

Делать это будем по шагам. 

 

SO=b*sin α

 

СО=SC*cos α=b*cos α

 

SH=SO:sin β = b*sin α:sin β

 

OH= SO:tg β= b*sin α : tg β

 

CH=CO+OH= b*cos α + b*sin α : tg β

 

Так как КЕ║АВ, треугольник КСЕ подобен равностороннему АСВ и также является равносторонним.

 

∠НЕС=60°

 

CE=CH:sin (60°)= (b*cos α + b*sin α:tg β)*2:√3

 

KE=CE

 

S ᐃSKE=SH*KE:2

 

S ᐃSKE= 1/2)*(b*sin α:sin β)* (b*cos α + b*sin α:tg β)*2:√3

 

S ᐃSKE = (b*sin α:sin β)* (b*cos α + b*sin α:tg β) :√3 =


S ᐃSKE = b² (sin α:sin β)*(cos α + sin α:tg β) :√3

 --------------------------

 


Вправильной треугольной пирамиде боковое ребро, равное b, наклонено к основанию под углом a. через в
0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Геометрия
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота