Впрямом параллелепипеде стороны основания равны 9 см и 10 см, а большая диагональ основания 17 см.полная поверхность параллелепипеда равна 334 см2 . найдите объем параллелепипеда.

Ну, вот треугольник ABC, С - прямой угол; CH - высота, оба треугольника ACH и BCH - подобны ABC; 
AB = c; AC = c*sin(α); BC = c*cos(α); α = угол ABC; 
то есть sin(α) и cos(α) - коэффициенты подобия (то есть отношение соответственных сторон треугольников ACH и ABC равно sin(α), отношение соответственных сторон треугольников BCH и ABC равно cos(α))
Ясно, что и радиусы вписанных окружностей связаны той же пропорцией (а почему?)
r1 = r*sin(α); r2 = r*cos(α);
откуда 
r^2 = (r1)^2 + (r2)^2;

Есть любопытное следствие. Если O, O1, O2 - центры этих трех окружностей, то OC = O1O2; : а вот докажите :

В правильной треугольной пирамиде SABC апофема (высота боковой грани) SH =4 см. Угол между апофемой SH и высотой пирамиды SO равен 30° (дано). Следовательно, в прямоугольном треугольнике SOH катет ОН равен 2см, как катет, лежащий против угла 30°.  В правильной пирамиде вершина S проецируется в центр основания (правильного треугольника) - точку О пересечения высот=медиан=биссектрис основания. Эта точка делит высоту (медиану) в отношении 2:1, считая от вершины (свойство).

Тогда высота основания СН= 2*3 = 6см.

Найдем сторону основания из формулы высоты: h=(√3/2)*a  =>  a=2h√3/3 или а=4√3см.

Площадь основания  равна So =(√3/4)*a²  или

So = (√3/4)*36 =9√3см².

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению апофемы на полупериметр основания, то есть

Sбок = 4*(1/2)*3*4√3 = 24√3 см². Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площадей основания и боковой поверхности, то есть

Sп = 9√3 + 24√3 = 33√3 см². Это ответ.