Впрямоугольном параллелепипеде авсда1в1с1д1 ав=аа1=а, ад=2а. на сребрах сс1 и ад взяты соответственно точки p и q - такие, что cp: cc1=aq: ad =1: 3, а на ребрах ав и а1в1 взяты соответственно точки r и v- середины этих ребер. найти расстояние между в1с1 и а) pq б)pr в)pv
Для точки R все так же просто. RM пересекает продолжение А1В1 в точке Е, и легко найти что ВЕ = а; (из подобия RMB и B1EM); MB1 = 2a/3; отсюда ME = a√13/3; и высота В1МЕ равна a*(2a/3)/(a√13/3) = 2a/√13;
Для точки Q этим же легко найти ответ 2a/√10; я покажу, как это находится с векторно-координатного метода.
Любая прямая полностью задается вектором вдоль неё и одной точкой, через которую она проходит.
С другой стороны, расстояние между не параллельными прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, каждая из которых содержит одну из этих прямых (такая пара плоскостей всегда есть и всегда только одна, если прямые не параллельны и не пересекаются).
Плоскость задается однозначно точкой, через которую она проходит и нормальным вектором (то есть вектором, перпендикулярным плоскости). Если плоскости параллельны, у них - очевидно - один и тот же нормальный вектор. Поэтому задача стоит такая - надо найти вектор, перпендикулярный направляющим векторам обеих прямых. Такой вектор отлично известен - это векторное произведение направляющих векторов.
Таким образом, нормальный вектор обеих параллельных плоскостей строится так - берутся две точки на одной прямой и на другой, строятся два вектора вдоль прямых, находится их векторное произведение и нормируется (то есть делится на свой модуль). Получился единичный вектор, перпендикулярный обеим прямым - и обеим плоскостям, содержащим скрещивающиеся прямые. Теперь, чтобы найти расстояние между двумя этими плоскостями, достаточно взять любые две точки на разных плоскостях, построить вектор с началом в одной точке и концом в другой, и скалярно умножить на построенный единичный вектор (то есть найти проекцию отрезка, соединяющего две произвольные точки двух параллельных плоскостей на прямую, перпендикулярную обеим плоскостям).
Выполнение этой программы действий для прямых В1С1 и PQ выглядит так.
B1C1 = (2a,0,0); QP = (4a/3,a,a/3);
векторное произведение B1C1XQP = (0,-1,3)*(2a^2/3); (я вынес общий множитель за скобки, так как для вычисления единичного вектора n = B1C1XQP/IB1C1XQPI его можно просто отбросить.
n = (0, -1/√10, 3/√10);
теперь можно взять любой (еще раз - любой в смысле любой) вектор с началом на одной плоскости и концом на другой и скалярно умножить на n, получится ответ (знак при этом не имеет значения, нужна абсолютная величина).
PB1 = (2a, 0, -2a/3); откуда сразу ответ 2a/√10;