Впрямоугольном параллелепипеде стороны основания 3дм и 4 ли ,а высота параллелепипеда 8 дм. найти площадь диагонального сечения

Рассмотрим треугольник ВАМ. Здесь KN - средняя линия. Для доказательства этого используем теорему Фалеса: если на одной из двух прямых (это АМ) отложить последовательно несколько равных отрезков (это AN и MN, которые равны по условию, т.к. KN - медиана треуг-ка АКМ) и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую (это KN и ВМ, параллельные по условию, пересекающие прямую АВ), то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. Т.е. АК=ВК.
Таким образом, KN соединяет середины сторон треуг-ка ВАМ и является средней линией. Значит
ВМ=2*KN=2*0.5=1,
ВС=2*ВМ=2*1=2 (т.к. АМ - медиана, и ВМ=СМ).

Центр вписанной окружности лежит на  пересечение  биссектрис углов тр -ка ,
но  поскольку  треугольник равнобедренный  BA = BC , то  биссектриса  BL одновременно является  и медианой  и  высотой поэтому  .
S=1/2*AC* BL ; 
S =AL*BL .
BL =BO +OL =20+r =20+12 =32   ;   O_  центр вписанной окружности . 
BT =√(BO² -OT²) =√(20² -12²) =16    ; OT ┴ AB .
Δ BLA  подобен    ΔBTO      разными можно  
AL / OT =BL / BT   ;
AL =OT *BL / BT ;
AL =12*32/16 =24.
S =24*32 =768 
: 768

  или  (  tqB/2 = AL / BL =OT / BT ) 

 или  AB / AL = BO / OL    ( свойства биссектрисы внутреннего угла тр ка)
AB  =AT+TB  =AL +TB  (  AT = AL  касательные провед к  окруж  из точки  A)
(AL +TB) / AL = BO / OL  ;
1 + TB / AL = BO / OL   ;
1 + 16/ AL =20 / 12  ⇒AL =24.