Впрямоугольном треугольнике abc с прямым углом c проведена средняя линия mn, параллельная гипотенузе ab. найдите длину ас, если mn=2корень из 5 bc=8с решением,

Во первых, ошибка в условии. Треугольник АВС равнобедренный с тупым углом В, значит АВ=ВС=ВВ1.
Угол между прямыми В1С и АВ - это угол между скрещивающимися прямыми, так как АВ и В1С - прямые, не лежащие в одной плоскости.
Определение: Скрещивающиеся прямые - это прямые, которые не лежат в одной плоскости.
Определение: Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся.
Проводим через точку С прямую, параллельную прямой АВ. Опустим на эту прямую перпендикуляр ВН. Тогда искомый угол - угол ВСН, косинус которого равен Cosα=CH/B1C. B1C - это гипотенуза прямоугольного треугольника ВВ1С, катеты которого равны (ВВ1=ВС дано). Тогда В1с=а√2, а НС - это катет прямоугольного треугольника ВНС, лежащего против угла <HBC=30° (так как <HBC=<ABC-<ABH или <HBC=120°-90°=30°). НС=(1/2)*ВС=а/2.
Тогда Cosα=(а/2)/(а√2)=1/2√2=√2/4.
ответ: Угол равен arccos(√2/4).

Второй вариант:
Решим задачу координатным
Пусть а=1, а начало координат - в точке А.
Найдем координаты точек А,В,С и В1.
Из прямоугольного треугольника АВР c <A=30°  имеем АР=Yb=√3/2. Из прямоугольного треугольника АКВ c
<В=30° имеем АК=Xb=1/2.
Треугольник АВС равнобедренный, значит АС=2*АР=√3. Тогда:
Точки: А(0;0;0); B(1/2;√3/2;0),C(0;√3;0) и B1(1/2;√3/2;1).
Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и  начала, значит
Вектора: АВ{1/2;√3/2;0}, B1C{-1/2;-√3/2;-1}.
Модули векторов: |AB|=√[(1/2)²+(√3/2)²+0]=1 (что соответствует условию задачи, так как мы приняли а=1). |B1C|=√[(1/2)²+(√3/2)²+1²]=√2. (что также соответствует условию, ведь В1С - диагональ грани ВВ1С1С - квадрата со стороной равной а=1).
Угол α между векторами a и b:
cosα=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/[√(x1²+y1²+z1²)*√(x2²+y2²+z2²)].
В нашем случае:
Угол α между вектором АВ и СВ1:
cosα=(3/4-1/4+0)/[√(3/4+1/4+0)*√(3/4+1/4+1)]=(1/2)/√2=
=1/(2√2)=√2/4.
ответ: угол между векторами АВ и СВ1 равен
arccos(√2/4).  Или ≈69,5°.

Правильный пятиугольник может быть построен с циркуля и линейки, или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» около 300 года до н. э. 

Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности: 

1. Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник и обозначьте её центр как O. 
2. Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A. 
3. Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью как точку B. 
4. Постройте точку C посередине между O и B. 
5. Проведите окружность с центром в C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D. 
6. Проведите окружность с центром в A через точку D. Обозначьте её пересечения с оригинальной (зелёной окружностью) как точки E и F. 
7. Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G. 
8. Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H. 
9. Постройте правильный пятиугольник AEGHF. 

После этого поделите все центральные углы пополам, и получите оставшиеся пять вершин десятиугольника.