Впрямоугольном треугольнике abc стороны bc 3, ab 5 .на отрезке cd взяты точки f и g так что df=1 и cg =2. прямые линии af и bg пересекаются в точке e . найдите периметр aeb

Показать ответ

Ответ:

нмрмгштщ

06.03.2020 12:33

Теорема Чевы. Дан треугольник ABC

и точки $A_1, \ B_1, \ C_1$
на сторонах BC, AC и AB соответственно. Отрезки
$AA_1,\ BB_1,\ CC_1$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

$\frac{AB_1}{B_1C}\cdot \frac{CA_1}{A_1B}\cdot \frac{BC_1}{C_1A}=1$

Лемма. Если числа $a,\ b,\ c,\ d$ таковы, что
$\frac{a}{b}=\frac{c}{d},$
то

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}=
 \frac{2a+3c}{2b+3d}=\ldots =
 \frac{\lambda a+\mu c}{\lambda b+\mu d}$ ,

лишь бы знаменатель в ноль не обращался.

Доказательство леммы. Оно элементарно. Кстати, те, кто в первый раз видит эту лемму, очень часто реагируют так: "Вы что же, числители и знаменатели складываете?! У нас в школе за это двойки ставят!" Впрочем, присмотревшись к утверждению и убедившись, что мы не собираемся таким образом дроби складывать, обычно все успокаиваются, особенно разобравшись в доказательстве.

Обозначим общее значение дробей $\frac{a}{b}$ и
$\frac{c}{d}$ буквой

Тогда

$a=bt;\ c=dt\Rightarrow \lambda a+\mu c
= (\lambda b+ \mu d)t\Rightarrow

$

$\frac{\lambda a+\mu b}{\lambda b+\mu d}=t,$

что и требовалось доказать.

Чтобы эта лемма стала совсем очевидной, хочется привести еще и то, что я иногда называю ПОКАЗАТЕЛЬСТВОМ, то есть рассуждение, не претендующее на роль строгого рассуждения, но приблизиться к "кухне математика". Итак, представьте две карты некой местности в разных масштабах, a - это расстояние между пунктами D и E, b - между E и F на одной карте, b и d - аналогичные расстояния на другой карте. В этом случае $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ - это отношение масштабов карт. Ясно, что если мы сложим a и c, то получим длину маршрута от первого пункта через второй к третьему на первой карте, а сложив b и d - длину маршрута на второй карте. Понятно, что их отношение снова равно отношению масштабов карт.

Доказательство теоремы.

1. Пусть указанные отрезки пересекаются в точке

, тогда треугольник ABC

оказывается разбит на 6 треугольников, занумерованных так, как указано на чертеже. Рассмотрим первую дробь
$\frac{AB_1}{B_1C}.$
Поскольку числитель и знаменатель этой дроби являются основаниями треугольников ABB_1

с общей высотой, дробь не изменится, если заменить числитель и знаменатель на площади указанных треугольников. А заметив, что на тех же основаниях стоят треугольники
APB_1

, можно заменить числитель и знаменатель и на их площади.

Поэтому

$\frac{AB_1}{B_1C}=
\frac{S_I+S_{II}+S_{III}}{S_{IV}+S_{V}+S_{VI}}=
\frac{S_I}{S_{VI}}.

$

Воспользуемся теперь леммой: дроби не изменятся, если взять разность числителей и разность знаменателей:

$\frac{AB_1}{B_1C}=\frac{S_{II}+S_{III}}{S_{IV}+S_{V}}$

Проведя аналогичное рассуждение для двух других дробей, получаем:

$\frac{AB_1}{B_1C}\cdot \frac{CA_1}{A_1B}\cdot \frac{BC_1}{C_1A}=
\frac{S_{II}+S_{III}}{S_{IV}+S_{V}}\cdot 
\frac{S_{VI}+S_{I}}{S_{II}+S_{III}}\cdot
\frac{S_{IV}+S_{V}}{S_{VI}+S_{I}}=1,$

что и доказывает теорему Чевы в одну сторону.

2. Пусть AA_1, BB_1, CC_1

не пересекаются в одной точке.Проведем через точку пересечения AA_1

отрезок

(точка

расположена на стороне

).
По доказанному,

$\frac{AB_1}{B_1C}\cdot\frac{CA_1}{A_1B}\cdot\frac{BC_2}{C_2A}=1.$

Если бы было выполнено

$\frac{AB_1}{B_1C}\cdot\frac{CA_1}{A_1B}\cdot \frac{BC_1}{C_1A}=1$ ,

то

$\frac{BC_2}{C_2A}=\frac{BC_1}{C_1A},$

что невозможно при $C_1\not= C_2$

(скажем, если точки на стороне

расположены в порядке $A \ - \ C_1\ - C_2\ - B,$
то числитель первой дроби больше числителя второй дроби, а знаменатель первой дроби меньше знаменателя второй, значит, первая дробь больше второй).

На этом доказательство завершается.

Замечание. Нетрудно получить тригонометрическую форму теоремы Чевы.
Воспользуемся для этого теоремой синусов:

$\frac{AB_1}{\sin \beta_1}=\frac{AB}{\sin AB_1B};\ \
\frac{B_1C}{\sin \beta_2}=\frac{BC}{\sin CB_1B}\Rightarrow$

$\frac{AB_1}{B_1C}=\frac{AB}{BC}\cdot \frac{\sin \beta_1}{\sin \beta_2}.$

Аналогично получаем

$\frac{CA_1}{A_1B}=\frac{AC}{AB}\cdot \frac{\sin\alpha_1}{\sin \alpha_2}; \ \
\frac{BC_1}{C_1A}=\frac{BC}{AC}\cdot \frac{\sin \gamma_1}{\sin \gamma_2}.$

Отсюда получается новая формулировка теоремы Чевы.

Отрезки $AA_1, \ BB_1, \ CC_1$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

$\frac{\sin \alpha_1}{\sin \alpha_2}\cdot 
\frac{\sin \beta_1}{\sin\beta_2}\cdot
\frac{\sin \gamma_1}{\sin\gamma_2}=1$

Примеры.

1) Медианы пересекаются в одной точке, поскольку все три дроби в основной формулировке теоремы Чевы равны 1.

2) Биссектрисы пересекаются в одной точке. Здесь удобнее воспользоваться теоремой Чевы в тригонометрической форме.

3) Высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке. Опять легче воспользоваться тригонометрической формой.

Теорема чевы. доказательство теоремы. пример использования. четкий, понятный и читаемый рисунок.

Теорема чевы. доказательство теоремы. пример использования. четкий, понятный и читаемый рисунок.

0,0(0 оценок)

Ответ:

lizakonnova

20.08.2021 13:54

А) Прямые СА1 и АВ1 -скрещивающиеся прямые по определению: "Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек".
Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся.
Проведем В1С2 параллельно А1С. Тогда <АВ1C2=90° (дано).
Соединим точки С и С2, В и С2 => четырехугольник АСС2В - параллелограмм по построению. АС2 и СВ - его диагонали, которые точкой пересечения О делятся пополам.
В прямоугольном треугольнике АВ1С2 отрезок В1О - медиана и В1О=АО=ОС2. Треугольник ОВС2 - прямоугольный, так как <OBC2=<ACB (накрест лежащие при параллельных АС и ВС2 и секущей ВС). Тогда по Пифагору ВС2²=ОС2²-ОВ².
В прямоугольном треугольнике ОВ1В (<OВВ1=90°, так как призма прямая) по Пифагору ВВ1²=ОВ1²-ОВ² или ВВ1²=ОС2²-ОВ². Следовательно, ВВ1=ВС2 или АА1=АС, что и требовалось доказать.

Вариант с использованием теоремы о трех перпендикулярах: "Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной". Проведем прямую "а" параллельно прямой А1С. Тогда АВ1 перпендикулярна этой прямой, так как она перпендикулярна А1С (дано). Прямая АС1- проекция АВ1 на плоскость грани АА1С1С. Следовательно, АС1 перпендикулярна прямой "а" и перпендикулярна прямой А1С, параллельной прямой "а". Итак, А1С перпендикулярна АС1, а это диагонали прямоугольника АА1С1С. Прямоугольник с перпендикулярными диагоналями - квадрат. АА1=АС, что и требовалось доказать.

б) Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой. Значит нам надо найти расстояние между прямой А1С и плоскостью АВ1С2, которая параллельна прямой А1С по построению так как В1С2 параллельна А1С.
Расстояние между параллельными прямой и плоскостью – это расстояние от любой точки заданной прямой до заданной плоскости.
Геометрическое решение затруднено построением искомого перпендикуляра.
Применим координатный (векторный) метод. Привяжем начало координат к точке С. Тогда имеем точки А(0;6;0), В1(3;0;6), А1(0;6;0) и С(0;0;0).
Вектор АВ1{3-0;0-6;6-0)=АВ1{3;-6;6}, вектор А1С{0-0;0-6;0-6}=А1С{0;-6;-6}. Уравнение прямой АВ1: (Х-0)/3=(У-6)/-6=(Z-0)/6 или Х/3=(У-6)/6=Z/6.
Уравнение прямой А1С: (Х-0)/0=(У-б)/-б=(Z-0)/-б или х/0=(У-6)/-б=Z/-б.
Даны скрещивающиеся прямые АВ1: X/3=(Y-6)/6=Z/6. A1C: X/0=(Y-6)/6=Z/6.
Через прямую AB1 проводим плоскость, параллельную прямой A1C (находим уравнение этой плоскости).
Поскольку прямая АВ1 должна лежать в плоскости , берем точку А, принадлежащую первой прямой, и её направляющий вектор:
А(0;6;0), n1{3;6;6} (координаты направляющего вектора - знаменатели дробей из уравнения прямой).
Находим уравнение плоскости через определитель:
|X-0 3 0| X*| 6 -6| - (Y-6)*| 3 0| + Z*|3 0| =0.
|Y-6 6 -6| |-6 -6| |-6 -6| |6 -6|
|Z-0 -6 -6| =0;
-72X-(Y-6)(-18)+Z(-18)=0 или
4X-Y-Z+6=0 - получили уравнение прямой с коэффициентами
А=4, В=-1, С=-1, D=6.
Расстояние от прямой до плоскости (расстояние от любой точки прямой до этой плоскости) находим по формуле:
d(С;α)=|A*Xc+B*Yc+C*Zc+D|/√(A²+B²+C²), взяв точку С(0;0;0), принадлежащую прямой СА1.
d(C;α)=6/√(16+1+1)=6/3√2=2/√2=√2.
ответ: искомое расстояние равно √2.

Геометрический решения (приложение 2):
Проведем В1С2 и АМ параллельно СА1.
СМ=СС1=СА=6.
МАВ1С2 - прямоугольник, так как <AB1C2=90° (дано), а В1С2 и АМ параллельно СА1 по построению.
АВС2С - параллелограмм по построению.
В1К - высота из прямого угла. МР=В1К (так как АВ1С2М - прямоугольник).
СР - высота из прямого угла (треугольник АСО).
СН - высота из прямого угла (треугольник АСВ).
АВ=√(АС²+СВ²)=√(36+9)=3√5.
АВ1=√(А1В1²+АА1²)=√(45+36)=9.
В1С2=√(ВВ1²+С2В²)=√(36+36)=6√2.
АС2=√(АВ1²+В1С2²)=√(81+72)=3√17.
В1К=РМ=АВ1*В1С2/АС2=9*6√2/3√17=18√2/√17.
АО=АС2/2=(3√17)/2.
СР=АС*СО*/АО=6*1,5/((3√17)/2)=6/√17.
СН=СР*СМ/РМ=(6/√17)*6/(18√2/√17)=2/√2=√2.
ответ: √2.

Основанием прямой треугольной призмы abca1b1c1 является прямоугольный треугольник abc с прямым углом