Впрямоугольном треугольнике abc,угол c=90°. биссектриса ak в 2 раза больше расстояния от точки к до прямой ав. гипотенуза ав =32см. найдите катет ас

Дано:

ABC- прямокутний трикутник

СВ= 7 см

Кут В= 60°

Знайте: АС, АВ

Розв'язання

sin кута В= АС/СВ

АС= sin 60°* CB= 0,8660*7= приблизно 6 см

cos кута В= АВ/СВ

АВ= cos 60°* CB= 0,5*7=3,5 см

Відповідь: АС= 6 см, АВ= 3,5 см

180-90-60= 30° - Кут С

АВ=1/2 СВ (тому що напроти АВ є кут 30°, а за властивістю прямокутного трикутника, катет що лежить напроти кута 30° буде дорівнювати 1/2 гіпотенузи)

АВ= 1/2 СВ= 7:2= 3,5

Із трикутника АВС за теоремою Піфагора:

АС²= СВ²- АВ²= 7²- 3,5²= 49- 12,25= 36,75

АС= √36,75= приблизно 6 см

Відповідь: та же що і у першому варіанті

Уточнение:

Я не могу точно быть уверена в ответе, но эту задачу я делала по принципу, по которому мы решаем в классе

А) 
∠АMN=90 °; ∠ACN= 90 °.
Сумма противоположных углов четырехугольника СNMA равна 180 °, значит около четырехугольника CNMA можно описать окружность.
∠СMN=∠CAN как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу NC.
б)
Так как точка М– середина гипотенузы является центром окружности, описанной около треугольника АВС, то
ВM=AM=CM 

Треугольник CMB – равнобедренный, так как СM=BM.

Треугольник ANB – равнобедренный, так как NM – серединный перпендикуляр к АВ, поэтому BN=AN.

Угол В в этих треугольниках общий.

По теореме синусов из треугольника АNB
BN/sin∠B=2R1, R1– радиус окружности, описанной около треугольника ANB.
По теореме синусов из треугольника СМВ:
СM/sin ∠B=2R2
R2– радиус окружности, описанной около треугольника СМВ

Значит
R1/R2=BN/CM, так как СМ=ВМ.
R1/R2=BN/BM

Рассмотрим прямоугольный треугольник ВNM:
cos∠B=BM/BN
R1/R2=1/cos∠B

По условию
tg∠A=4/3 ⇒ 1+tg2∠A=1/cos2∠A
значит 
cos2∠A=1/(1+tg2∠A)=1/(1+(4/3)2)=9/25
так как угол А –острый, то cos∠A=3/5
sin∠A=4/5
sin∠A=cos∠B

R1/R2=1/cos∠B=1/(4/5)=5/4
О т в е т. 5/4