ΔАВС - осевое сечение конуса, О - центр вписанного шара и центр окружности, вписанной в треугольник АВС, Тогда расстояние от центра шара до образующей равно радиусу шара, равно d. Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис. ОС - биссектриса ∠ВСА, ⇒ ∠ОСН = 1/2∠ВСА = α/2. ΔОСН: ∠ОНС = 90° CH = OH · ctg(α/2) R = d·ctg(α|2) ΔBCH: ∠BHC = 90° BH = CH · tgα = d · ctg(α|2) · tgα Vконуса = 1/3πR²·BH Vконуса = 1/3 · π · (d·ctg(α|2))² · d · ctg(α|2) · tgα Vконуса = 1/3 · π · d³ ·ctg³(α/2) · tgα
В тр-ке АВС из С опустим высоту СД. СД = 0,5АВ, т.к тр-к АВС равнобедренный.
Проекция тр-ка АВС на пл. альфа является равнобедренным треугольником АВС1 и имеет вершину С1 и высоту С1Д.
Надо найти СС1.
По условию Sпр = 16sqrt(2) или Sпр = 0,5 АВ * С1Д
16sqrt(2) = 0,5 АВ С1Д
АВ * С1Д = 32sqrt(2)
В тр-ке СДС1 угол СДС1 = 45гр, поэтому СС1 = С1Д.
Обозначим СС1 = С1Д = Н, тогда
гипотенуза СД = sqrt (H^2 + H^2) = H * sqrt (2)
и АВ * Н = 32sqrt(2) - формула 1
выше было показано, что СД = 0,5АВ, тогда
H * sqrt (2) = 0,5АВ и
АВ = 2H * sqrt (2)
Подставим полученное в формулу 1:
2H * sqrt (2) * Н = 32sqrt(2)
2H^2 = 32
H^2 = 16
H = 4
ответ: расстояние от точки С до плоскости альфа СС1 =Р = 4см
Тогда расстояние от центра шара до образующей равно радиусу шара, равно d.
Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис. ОС - биссектриса ∠ВСА, ⇒ ∠ОСН = 1/2∠ВСА = α/2.
ΔОСН: ∠ОНС = 90°
CH = OH · ctg(α/2)
R = d·ctg(α|2)
ΔBCH: ∠BHC = 90°
BH = CH · tgα = d · ctg(α|2) · tgα
Vконуса = 1/3πR²·BH
Vконуса = 1/3 · π · (d·ctg(α|2))² · d · ctg(α|2) · tgα
Vконуса = 1/3 · π · d³ ·ctg³(α/2) · tgα