Ромб АВСД, АС=16, ВД=12, диагонали ромба пересекаются под углом 90 и в точке пересечения делятся пополам, АО=ОС=АС/2=16/2=8, ВО=ОД=ВД/2=12/2=6, треугольник АВО прямоугольный, АВ=ВС=СД=АД=корень((АО в квадрате+ВО в квадрате)=корень(64+36)=10, ЕФ высота, треугольник АОД прямоугольный, ОД в квадрате=ФД*АД, ФД=ОД в квадрате/АД=36/10=3,6, АФ=10-3,6=6,4, треугольник ФОД=треугольник ВОЕ как прямоугольные по гипотенузе и острому углу (ВО=ОД, уголФДО=уголОВЕ как внутренние разносторонние)ВД=ВЕ=3,6, АФ=ЕС=6,4, треугольник АОД, ОФ=корень(АФ*ФД)=корень(6,4*3,6)=4,8=ОЕ, ЕФ=ОФ+ОЕ=4,8+4,8=9,6, ФК параллельна АС, треугольник АСД подобен треугольнику ФКД по двум равным углам (уголД- общий, уголФКД=уголАСД как соответственные), ФД/АД=ФК/АС, 3,6/10=ФК/16, ФК=3,6*16/10=5,76, МЕ параллельна АС, треугольник ВМЕ подобен треугольнику АВС по двум равным углам (уголВ-общий, уголВМЕ=уголВАС как соответственные), ВЕ/ВС=МЕ/АС, 3,6/10=МЕ/16, МЕ=3,6*16/10=5,76, МЕ=ФК и МЕ параллельно ФК, теорема- если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны то четырехугольник МЕКФ параллелограмм , согласно теоремы Фалеса ФД/АД=ДК/СД, 3,6/10=ДК/10, ДК=3,6, СК=6,4, так же для стороны АВ, МВ=3,6, АМ=6,4, треугольник ВСД подобен треугольнику ЕСК по двум пропорцианальным сторонам и равному углу между ними (уголС-общий, ЕС/АС=СК/СД, 6,4/10=6,4/10, ЕС/ВС=ЕК/ВД, 6,4/10=ЕК/12, ЕК=6,4*12/10=7,68, треугольник ЕФК, ЕК в квадрате+ФК в квадрате=58,9824+33,1776=92,16, ЕФ в квадрате=9,6*9,6=92,16, если сумма квадратов двух сторон = квадрату третьей стороны то треугольник прямоугольный, треугольник ЕФК прямоугольный, уголЕКФ=90, теорема - если в параллелограмме есть прямой угол то параллелограмм прямоугольник , диагонали в прямоугольнике равны ЕФ=МК=9,6, площадьМЕКФ=ЕК*ФК=7,68*5,76=44,2368
Пусть квадрат СКМН вписан в треугольник АВС, причем точка М лежит на АВ.
Примем сторону квадрата равной х.
Тогда АК=12-х, ВН=10-х
Площадь ∆ АВС состоит из площади двух прямоугольных треугольников и площади квадрата.
S АВС=Ѕ АКМ+Ѕ МВН+Ѕ КМНС. ⇒
12•10=(12-х)•х+(10-х)•х+2х²⇒
120=22х⇒
————
Или:
Проведем биссектрису СМ .
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.
АМ:ВМ=АС:ВС=12/10=
Откуда АВ=11 частей, и СВ:х=АВ:АМ=11/6⇒
11х=60
———
Можно использовать также подобие треугольников АКМ и МНВ, из чего следует
АК:МН=КМ:ВН - ответ будет, естественно, тем же.