Впрямоугольном треугольнике один катет больше другого в 3 раза высота разбивает гипотенузу на отрезки один больше второго на 8 найдите площадь этого треугольника
В прямоугольном треугольнике АВС катеты АВ=3АС, высота АН делит гипотенузу ВС на отрезки ВН и НС (ВН=НС+8). По т.Пифагора ВС²=АВ²+АС²=9АС²+АС²=10АС², ВС=АС√10 или ВС=ВН+НС=2НС+8. Значит АС√10=2НС+8, откуда АС=(2НС+8)/√10. По формуле высота прямоугольного треугольника АН=АВ*АС/ВС=3АС²/АС√10=3АС/√10=3(2НС+8)/10=0,6НС+2,4 или АН²=ВН*НС=(НС+8)НС=НС²+8НС. Приравниваем (0,6НС+2,4)²=НС²+8НС; 0,36НС²+2,88НС+5,76=НС²+8НС; 0,64НС²+5,12НС-5,76=0; НС²+8НС-9=0. D=64+36=100, НС=(-8+10)/2=1. Следовательно гипотенуза ВС=2*1+8=10, высота АН=0,6*1+2,4=3. Тогда площадь треугольника S=1/2*AH*BC=1/2*3*10=15
По т.Пифагора ВС²=АВ²+АС²=9АС²+АС²=10АС²,
ВС=АС√10 или ВС=ВН+НС=2НС+8.
Значит АС√10=2НС+8, откуда АС=(2НС+8)/√10.
По формуле высота прямоугольного треугольника
АН=АВ*АС/ВС=3АС²/АС√10=3АС/√10=3(2НС+8)/10=0,6НС+2,4 или
АН²=ВН*НС=(НС+8)НС=НС²+8НС.
Приравниваем (0,6НС+2,4)²=НС²+8НС;
0,36НС²+2,88НС+5,76=НС²+8НС;
0,64НС²+5,12НС-5,76=0;
НС²+8НС-9=0.
D=64+36=100,
НС=(-8+10)/2=1.
Следовательно гипотенуза ВС=2*1+8=10,
высота АН=0,6*1+2,4=3.
Тогда площадь треугольника S=1/2*AH*BC=1/2*3*10=15