Впрямоугольной трапеции боковые стороны равны 12 и 20,а меньшая диагональ равна 15.найдите угол между этой диагональю и большей боковой стороной?

решения. 
1). - самый короткий.
Из величин, данных в условии, напрашивается предположение, что треугольник АВС -  египетский: 
АВ=4*3=12,
АС=5*3=15,
и ВС явно дожно быть 3*3=9 
То же самое с треугольником АСD, в нем отношение сторон 
АС:DС:АD=3:4:5, ⇒ АD=25.
И это так и есть, проверьте по т. Пифагора
Отсюда следует вывод:
Треугольник АCD - прямоугольный, угол АСD=90°.
2)
Опустим из В высоту СН на АD.
СН=АВ=12
По т.Пифагора находим ВС=9
АН=ВС=9
По той же теореме
НD=16  ⇒ 
АD=9+16=25
 ВС:АС=АВ:СD=АС:АD= 3/5
Стороны треугольников АВС и АСD - пропорциональны.
Третий признак подобия треугольников
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
В подобных треугольниках углы, заключенные между сходственными сторонами, равны.⇒
∠АСD=∠ АВС=90°
3)
Нашли АН=9, НДD=16, АD=25 ( см.выше)
Находим площадь треугольника АСД по формуле S=a*b:2:
S(АСD)=12*25:2=150
В другую формулу площади треугольника
S(АСD)=AC*CD*sin∠(ACD):2
поставим известные величины и выразим из нее синус искомого угла:
⇒sin∠(ACD)=2*S(АСD):AC*CD
sin∠(ACD)=300:300=1
1=sin∠(90°)
ответ: угол между меньшей диагональю и большей боковой стороной трапеции равен 90°