Вравнобедренный треугольник с основанием 10 см и боковой стороной 5 корень 2 см вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании, а другие две вершины на боковых сторонах. найдите сторону квадрата
Из условия задачи следует, что угол при основании треугольника АВС равен 30 град. Обозначим сторону равнобедренного треугольника через а, основание через b, радиус описанной окружности через R. Половина основания b/2=а*cos(30)=a*sqr(3)/2, b=a*sqr(3) Известно, что: R=a^2/sqr(4a^2-b^2) Подставив значение b, получим: R=a Отсюда: АВ=2 см Во второй задаче центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, поскольку радиусы опущенные из центра в точки М, Т и Р, образуют пары равных прямоугольных треугольников (ВОМ и ВОТ и т.д.). Четырехугольник РОТС является квадратом, так как радиусы проведены в точки касания и перпендикулярны катетам. По условия диагональ этого квадрата равна корень из 8, следовательно сторона будет в корень из двух раз меньше, отсюда: r=sqr(8/2)=2 Угол ТОР=90 град. Угол ТМР является вписанным, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Дуга составляет 90 градусов, так как ограничена точками Р и Т, а угол РСТ прямой. Следовательно угол ТМР=45 град.
Искомое расстояние найдём по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника с гипотенузой =2см и катетов, один из которых равен этому расстоянию, а второй перпендикуляру опущенному из точки пересечения диагоналей ромба на его сторону
катет лежащий против угла 30 градусов равен половине гипотенузы
диагонали ромба перпендикулярны друг другу
половины диагоналей ромба равны 2 и 2√3 см
площадь ромба = 8√3 кв.см
перпендикуляр из точки пересечения диагоналей ромба на боковую сторону ромба =х
0,5 * 4 * х *4 = 8√3 х=√3
искомое расстояние = √(2^2 - (√3)^2) = √(4 - 3) = 1 см
Половина основания b/2=а*cos(30)=a*sqr(3)/2, b=a*sqr(3)
Известно, что:
R=a^2/sqr(4a^2-b^2)
Подставив значение b, получим: R=a
Отсюда: АВ=2 см
Во второй задаче центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, поскольку радиусы опущенные из центра в точки М, Т и Р, образуют пары равных прямоугольных треугольников (ВОМ и ВОТ и т.д.). Четырехугольник РОТС является квадратом, так как радиусы проведены в точки касания и перпендикулярны катетам. По условия диагональ этого квадрата равна корень из 8, следовательно сторона будет в корень из двух раз меньше, отсюда:
r=sqr(8/2)=2 Угол ТОР=90 град. Угол ТМР является вписанным, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Дуга составляет 90 градусов, так как ограничена точками Р и Т, а угол РСТ прямой. Следовательно угол ТМР=45 град.
катет лежащий против угла 30 градусов равен половине гипотенузы
диагонали ромба перпендикулярны друг другу
половины диагоналей ромба равны 2 и 2√3 см
площадь ромба = 8√3 кв.см
перпендикуляр из точки пересечения диагоналей ромба на боковую сторону ромба =х
0,5 * 4 * х *4 = 8√3 х=√3
искомое расстояние = √(2^2 - (√3)^2) = √(4 - 3) = 1 см
ответ: 1 см