Соединим центр окружности с вершинами трапеции и с точками касания. Имеем подобные треугольники AOE и ОКВ, а также ДОЕ и ОСР (их стороны взаимно перпендикулярны). Находим отрезки сторон у вершин до точки касания: х = ВК, у = СР. 6/12 = х/6, х = 6*6/12 = 3. 6/9 = у/6, у = 6*6/9 = 4. Отсюда получаем длины сторон: АВ = 9+4 = 13, ВС 0 4+3 = 7, СД = 12+3 = 15.
Высота Н трапеции равна: Н = √(АВ² - (9-4)²) = √169 - 25) = √144 = 12.
Площадь S трапеции равна: S = 12*((7+21)/2) = 12*14 = 168 кв.ед.
Имеем подобные треугольники AOE и ОКВ, а также ДОЕ и ОСР (их стороны взаимно перпендикулярны).
Находим отрезки сторон у вершин до точки касания: х = ВК, у = СР.
6/12 = х/6, х = 6*6/12 = 3.
6/9 = у/6, у = 6*6/9 = 4.
Отсюда получаем длины сторон:
АВ = 9+4 = 13,
ВС 0 4+3 = 7,
СД = 12+3 = 15.
Высота Н трапеции равна:
Н = √(АВ² - (9-4)²) = √169 - 25) = √144 = 12.
Площадь S трапеции равна:
S = 12*((7+21)/2) = 12*14 = 168 кв.ед.
Вариант решения.
Обозначим трапецию АВСД, ВС и АД - основания.
Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны.⇒
АМ=АН=9, КД=ДН=12, ВМ=ВТ=х, СТ=СК=у
Соединим вершины трапеции с центром окружности.
Центр вписанной в угол окружности лежит на его биссектрисе.⇒ Центр вписанной в трапеции окружности лежит в точке пересечения биссектрис её углов.
Сумма углов при боковой стороне трапеции равна 180°, сумма их половин равна 90°, ⇒ ∆ АОВ и ∆ СОВ прямоугольные, радиусы ОМ и ОК– их высоты.
Высота прямоугольного треугольника - среднее пропорциональное между проекциями его катетов на гипотенузу.
ОМ²=АМ•ВМ
36=9•х⇒
х=36:9=4
Аналогично ОК²=ДК•СК
36=12•у
у=36:12=3
АВ=9+4=13
ВС=3+4=7
CD=12+3=15
АД=9+12=21
Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований.
Высота описанной трапеции равна диаметру вписанной окружности
h=2r=12
S=(7+21)•12:2=168 ед. площади.