Втреугольник abc вписана окружность радиуса 4, касающаяся стороны ac в точке m , причём am = 8 и cm =12 . а) докажите, что треугольник abc прямоугольный. б) найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника abc .

<ADB = 40°

Объяснение:

Большинство задач с медианой решается через дополнительное построение параллелограмма с диагональю, равной удвоенной медиане.

Продолжим медиану ВМ за точку М и отложим на продолжении точку Р так, что МР = МВ. Соединив точку Р с точками А и С получим параллелограмм АВСР (по признаку: "Четырёхугольник является параллелограммом, если его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам".  

Рассмотрим треугольники ADB  и РВС.

AD=BP=2*BM (по построению), BC=BD (дано), АВ= РС (по построению).

Треугольники равны по трем сторонам, равны и их соответственные углы.   <BDA = <PBC = 40°.

Прямые ВС и АD параллельны, так как сумма внутренних односторонних углов А и В при прямых ВС и АВ и секущей АВ в сумме равны 180° (признак параллельности).
Четырехугольник АВСD - параллелограмм, следовательно его диагонали в точке пересечения делятся пополам.
ВМ=ОD и ВМ=КD, а <OBM=<ODK как накрест лежащие при параллельных прямых. Значит треугольники ОВМ и ОDK равны по двум сторонам и углу между ними. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.
ОМ=ОD, что и требовалось доказать.