Втреугольнике abc: ab=2, bc=3, ac=4. на продолжение ab за точку b отмечена точка m так, что ам: ав=4: 3, а на стороне ас - точка р так, что ар: рс=3: 5 найдите длину рм

 Сторона AB ромба ABCD равна а, один из углов ромба равен 60 градусов. Через сторону АВ проведена плоскость альфа на расстоянии а/2 от точки D.  Найдите расстояние от точки С до плоскости. Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла DАВМ, М принадлежит плоскости. Найдите синус угла между плоскостью ромба и плоскостью альфа. 
Решение.
CD параллельна АВ, следовательно, параллельна плоскости альфа, в которой лежит АВ.
 Все точки прямой, параллельной плоскости, удалены от нее на равное расстояние. ⇒ точка С находится на том же расстоянии от плоскости, что и точка D, т.е.  на расстоянии а/2.
 Угол между плоскостью ромба и плоскостью альфа - двугранный. 
Двугранный угол - это часть пространства, заключённая между двумя полуплоскостями, имеющими общую границу. 
Линейным углом двугранного угла называется угол между двумя перпендикулярами к ребру двугранного  угла, лежащими в гранях двугранного угла и имеющими на ребре общее начало. 

Из любой точки ребра двугранного угла можно провести линейный угол, и все эти углы будут равны между собой. 
Так как острый угол ромба равен 60°, его диагональ ВD делит ромб на два равносторонних треугольника. DK  - высота треугольника  (и высота ромба), перпендикулярна АВ, ⇒
DK=(а√3)/2
Проекция отрезка DK перпендикулярна АВ, т.е. KN⊥AB  по теореме о трех перпендикулярах. 
Синус угла угла DKN между плоскостью ромба и плоскостью альфа - это отношение между  отрезком DN  и высотой DK ромба. 
sin DKN=DN:DK
Угол НВМ=углу DKN.
sin DKN=a/2:(а√3)/2=1/√3 
sin НВМ=1/√3 

 Точки А1 и В1 - середины сторон ∆ АСВ. Соединим их. В1А1 – срденяя линия ∆ АСВ и по свойству средней линии В1А1║ АВ.⇒

Четырехугольник АВ1А1В - трапеция, В1В и А1А - ее диагонали.  

Треугольники, образованные отрезками иагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.( свойство трапеции). 

Доказательство.  

Рассмотрим ∆ АВ1А1 и ∆ ВВ1А1.  У этих треугольников общее основание и высоты, равные высоте трапеции. 

Формула площади треугольника S=a•h/2, где а - сторона треугольника, h- высота, проведенная к ней. 

Если основания и высоты треугольников равны, их площади равны. 

 ∆ АВ1А1= ∆ АВ1О+∆ В1ОА1

 ∆ ВВ1А1= ∆ ВОА1+∆ В1ОА1 

Два треугольника с равной площадью состоят из частей, одна из которых - одна и та же. Следовательно, площади вторых частей этих треугольников равны. 

S ∆ АОВ1=S∆ ВОА1, ч.т.д. 

---------

Вариант – более короткое решение. 

Каждая медиана треугольника делят его на два равновеликих ( равные высоты и основания). 

 S∆ ВCВ1=S ∆ АСА1=S ∆ АВС:2

Сумма  площадей ∆ АОВ1+четырехугольника В1СА1О равна сумме площадей ∆ ВОА1+четырехугольника В1СА1О, равна половине площади ∆ АВС,  из чего следует равенство площадей треугольников АВ1О и А1ВО