Втреугольнике abc проведена биссектриса bm.точка k - точка касания вписанной окружности со стороной bc. km параллельна ab. найти сторону ab, если bc = 12, ac = 17
Тут вся соль в том, что AB/BC =(свойство биссектрисы) = AM/MC = (из за MK II AB) = BK/KC; Пусть точки касания вписанной окружности делят стороны треугольника на отрезки x y z, так, что x + y = AB; (надо найти) x + z = AC = 17; y + z = BC = 12; Из первой цепочки равенств следует, что (x + y)/(y + z) = y/z; или xz = y^2; если подставить x = 17 - z; y = 12 - z; получится квадратное уравнение (12 - z)^2 = (17 - z)z; или 2z^2 - 41z + 144 = 0; откуда z1 = 16; z2 = 9/2; Ясно, что z < 12; поэтому остается корень z = 9/2; x + y + 2z = 17 + 12 = 29; откуда x + y = 20; AB =20;
AB/BC =(свойство биссектрисы) = AM/MC = (из за MK II AB) = BK/KC;
Пусть точки касания вписанной окружности делят стороны треугольника на отрезки x y z, так, что
x + y = AB; (надо найти)
x + z = AC = 17;
y + z = BC = 12;
Из первой цепочки равенств следует, что
(x + y)/(y + z) = y/z; или xz = y^2; если подставить x = 17 - z; y = 12 - z; получится квадратное уравнение (12 - z)^2 = (17 - z)z; или
2z^2 - 41z + 144 = 0; откуда z1 = 16; z2 = 9/2;
Ясно, что z < 12; поэтому остается корень z = 9/2;
x + y + 2z = 17 + 12 = 29; откуда x + y = 20;
AB =20;