В этом 4угольнике диагонали взаимно перпендикулярны, и одна из них - диаметр окружности, то есть 6. Площадь такого 4угольника равна половине произведения диагоналей (докажите, это просто). Значит расстояние между точками касания 12*2/6 = 4. А половина - 2. Значит sin(Ф) = 2/3. Ф - половина центрального угла хорды, соединяющей точки касания. ОЧЕНЬ ЛЕГКО увидеть, что Ф - угол при большом основании трапеции (просто стороны углов перпендикулярны, см. рисунок, там отмечено). А дальше, вычисляете боковую сторону (диаметр 6 делить на sin(Ф) = 2/3), она равна средней линии (почему? - это следует из свойства описанного 4угольника - суммы боковых сторон равны сумме оснований, а боковые стороны равны между собой, значит, боковая сторона равна средней линии :)), умножаете на диаметр (то есть на высоту трапеции), задача решена. Собрав все это получаем
Это можно и так сосчитать - треугольник BFD - равнобедренный, угол при вершине 60 градусов, то есть он равносторонний, и его стороны равны диагонали квадрата в основании, то есть 4*корень(2); а FO в этом треугольнике - высота (медиана, биссектриса, все равно), и равна стороне, умноженной на корень(3)/2, то есть FO = 2*корень(6);
В прямоугольном треугольнике SOC OF - медиана к гипотенузе SC, SC = 2*FO, поэтому
SC = 4*корень(6); а ОС = OD = 2*корень(2);
Поэтому SO = корень(SC^2 - OC^2) = корень(96 - 8) = 2*корень(22);
смотрите чертеж.
В этом 4угольнике диагонали взаимно перпендикулярны, и одна из них - диаметр окружности, то есть 6. Площадь такого 4угольника равна половине произведения диагоналей (докажите, это просто). Значит расстояние между точками касания 12*2/6 = 4. А половина - 2. Значит sin(Ф) = 2/3. Ф - половина центрального угла хорды, соединяющей точки касания. ОЧЕНЬ ЛЕГКО увидеть, что Ф - угол при большом основании трапеции (просто стороны углов перпендикулярны, см. рисунок, там отмечено). А дальше, вычисляете боковую сторону (диаметр 6 делить на sin(Ф) = 2/3), она равна средней линии (почему? - это следует из свойства описанного 4угольника - суммы боковых сторон равны сумме оснований, а боковые стороны равны между собой, значит, боковая сторона равна средней линии :)), умножаете на диаметр (то есть на высоту трапеции), задача решена. Собрав все это получаем
S = (2*r)^2/sin(Ф) = 6^2*3/2 = 54.
Соединим F c проекцией вершины пирамиды на основание О - это центр квадрата. BD = 4*корень(2), OD = BD/2 = 2*корень(2);
FD = OD*ctg(30) = 2*корень(2)*корень(3) = 2*корень(6);
Это можно и так сосчитать - треугольник BFD - равнобедренный, угол при вершине 60 градусов, то есть он равносторонний, и его стороны равны диагонали квадрата в основании, то есть 4*корень(2); а FO в этом треугольнике - высота (медиана, биссектриса, все равно), и равна стороне, умноженной на корень(3)/2, то есть FO = 2*корень(6);
В прямоугольном треугольнике SOC OF - медиана к гипотенузе SC, SC = 2*FO, поэтому
SC = 4*корень(6); а ОС = OD = 2*корень(2);
Поэтому SO = корень(SC^2 - OC^2) = корень(96 - 8) = 2*корень(22);