.(Вугол 60 градусов вписана окружность. окружности пренадлежит точка, которая лежит на растоянии 1 от одной стороны угла и 4 от другой стороны угла. найдите радиус вписанной окружности).

ВАС = 60 гр. АО - биссектриса, О - центр впис. окр-ти. В и С - точки касания.

Пусть точка К прин окр-ти и: КМ перп АС, КМ = 1, KN перп АВ, KN = 4

В прямоугольной трапеции СОКМ: ОС = ОК = r, КМ = 1

Проведем высоту КР на основание ОС. ОР = ОС - КМ = r - 1

Тогда из пр. тр-ка КОР:

КР = кор(ОК^2 - OP^2) = кор(r^2 - (r-1)^2) = кор(2r-1).

КР = СМ = кор(2r-1).

АМ = АС + СМ = rкор3 + кор(2r-1) (т.к. АС = r/tg30  из тр. АОС)

Теперь проведем АК.

Из тр. АКМ :  AK = 1/sina, где а - угол КАМ

Из тр. NAK :  АК = 4/sin(60-a)

Приравняв, получим:

sin(60-a) / sina = 4, или раскрыв синус разности и поделив почленно:

(кор3)ctga - 1 = 8    ctga = 3кор3

Но из тр-ка АКМ:

ctga = AM/MK = rкор3 + кор(2r-1)

Приравняем и получим:

(3-r)кор3 = кор(2r-1).   1<r<4

3r^2 - 20r + 28 = 0    D = 64   r = 2 (другой корень >4)

ответ: 2