Vvлпіп ауданын табыңдар.
18. призманың табаны – бір қабырғасы 2 см, ал қалған екеуі 3 см-ден болатын үшбұрыш.
призманың бүйір қыры 4 см-ге тең және ол табан жазықтығымен 45° бұрыш жасайды. осы призмаға
теңшамалы кубтың қырын табыңдар.
19. призманың табаны – қабырғасы а-ға тең болатын теңқабырғалы үшбұрыш. призманың
бүйір қыры б-ға тең. бүйір қырларының біреуінің төменгі табанына проекциясы осы табанының
биіктігі болады. призманың бүйір бетінің ауданын табыңдар.
20. дұрыс төртбұрышты призма табанының екі көршілес қабырғаларының орталары арқылы
үш бүйір қырларын қиып өтетін және табан жазықтығына а бұрыш жасай көлбеген жазықтық
жүргізілген. табанының қабырғасы а-ға тең. алынған қиманың ауданын табыңдар.
21. биіктігі 6 см болатын тік призманың табаны — табаны 12 см-ге, ал бүйір қабырғасы 10 см-
ге тең теңбүйірлі үшбұрыш. осы призмадан биіктігі 6 см-ге тең болатын екінші үшбұрышты призма
кесіп алынған. алынған жарты дененің қабырғасының қалыңдығы 1 см болса, осы дененің толық
бетінің ауданын табыңдар.
22. дұрыс төртбұрышты призма табанының қабырғасы 15 см-ге, биіктігі 20 см-ге тең.
табанының қабырғасынан онымен қиылыспайтын призманың диагоналының арасындағы ең қысқа
қашықтықты табыңдар.
23. көлбеу призманың табаны – диагональдары өзара перпендикуляр болатын abcd
төртбұрышы. bd диагоналы 16 дм-ге тең және ол бүйір қырына перпендикуляр. aacc
диагональдық қимасының ауданы 250 дм2-қа тең болса, призманың көлемін табыңдар.
24. тік призманың табаны – табандары а және ь (а > b), сүйір бұрышы а болатын теңбүйірлі
трапеция. жоғарғы трапецияның үлкен табаны мен төменгі трапецияның кіші табаны арқылы өтетін
жазықтық төменгі табан жазықтығымен р бұрыш жасайды. призманың көлемін табыңдар.
q^2 = R^2 - (m/2)^2;
p^2 = r^2 - (m/2)^2;
Отсюда
(2*m)^2 + (q - p)^2 = (R + r)^2; (это просто теорема Пифагора)
4*m^2 + q^2 + p^2 - 2*q*p = R^2 + r^2 + 2*R*r;
4*m^2 + R^2 + r^2 - m^2/2 - R^2 - r^2 - 2*R*r = 2*q*p; (свожу подобные и делю на 2);
(7/4)*m^2 - R*r = q*p; (это возводится в квадрат);
(49/16)*m^4 - 2*(7/4)*m^2*R*r + R^2*r^2 = (R^2 -m^2/4)*(r^2 - m^2/4) =
= R^2*r^2 - (1/4)*m^2*(R^2 + r^2) + m^2/16; (ясно, что свободные от неизвестного m слагаемые выпадают, и степень понижается :));
3*m^2 = (7/2)*R*r - (R^2 + r^2)/4;
Собственно, это ответ. Его можно "переписывать" в каких-то иных формах, например, так
m = (√3/6)*√(16*R*r - (R + r)^2);
сути это не меняет.
Почему эта задача вызвала такие моральные затруднения, я не понимаю.
Арифметику проверяйте! :)
Мне захотелось показать несколько простых ЧУДЕС, которые зарыты в этом условии. См. ВТОРОЙ рисунок, он немного отличается от первого. Семь отличий искать не надо :). Проведена общая внутренняя касательная до пересечения с прямой. Она делит средний (из трех равных) отрезок на части x и m - x; отрезок касательной t;
Ясно, что x*(x + m) = t^2 = (m - x)*(m - x + m);
откуда легко найти x = m/2;
то есть общая внутренняя касательная делит средний отрезок пополам.
Это уже НЕЧТО, но есть и дальше :)
r^2 + t^2 = p^2 + (x + m/2)^2 = r^2 - m^2/4 + m^2;
t^2 = (3/4)^m^2;
t = m*√3/2;
к сожалению, это не сильно в поиске m :);
рассмотрим систему:
1)x^2/6+y^2=1
y=kx+b
x^2/6+ (kx+b)^2=1
x^2+6k^2x^2+12kxb+6b^2-6=0
(1+6k^2)*x^2+12kxb+6b^2-6=0
Линейный случай отсекается 1+6k^2>0
D/4=36k^2*b^2-(1+6k^2)(6b^2-6)=0
2) x^2/4+y^2/9=1
x^2/4+(kx+b)^2/9=1
9x^2+4k^2x^2+8kxb+4b^2-36=0
(9+4k^2)+8kxb+4b^2-36=0
9+4kx^2>0
D/4= 16k^2b^2-(9+4k^2)(4b^2-36)=0
Раскрывая скобки в каждом уравнении получим.
36k^2*b^2-6b^2+6-36k^2b^2+36k^2=0
6k^2-b^2+1=0
и 2 уравнение:
16k^2b^2-36b^2+324-16k^2b^2+144k^2=0
4k^2-b^2+9=0
То выходит линейная система
6k^2-b^2=-1
4k^2-b^2=-9
Вычтем:
2k^2=8
k^2=4 k=+-2
b^2=25 b=+-5
То уравнения общих касательных будут принимать вид:
y=2x+5
y=2x-5
y=-2x+5
y=-2x-5