Выберите верный вариант(ы) ответа:
1. Если сфера касается всех граней многогранника, то она называется …
а) описанной около многогранника;
б) вписанной в многогранник;
в) касательной к многограннику.
14. Шар можно вписать в …
а) произвольную призму;
б) любую треугольную пирамиду;
в) любую треугольную призму;
г) пирамиду, все грани которой равно наклонены к плоскости основания;
д) любую правильную пирамиду;
е) любую правильную призму.
15. Сферу можно описать около …
а) любой призмы;
б) любой правильной пирамиды;
в) наклонной призмы;
г) любого цилиндра.
Решите задачу:
16. Прямоугольный параллелепипед
описан около сферы радиуса 6 см.
Найдите площадь полной поверхности
параллелепипеда.
17. Около куба с ребром описан шар.
Найдите площадь поверхности шара.
18. Найдите образующую цилиндра,
описанного около сферы радиуса 3 д
Обоснование: Если сфера касается всех граней многогранника, то она описана около него, так как она проходит через все его вершины и полностью охватывает его.
14. Верный вариант ответа: в) любую треугольную призму.
Обоснование: Шар можно вписать в любую треугольную пирамиду, так как она имеет треугольное основание и его вершина лежит на поверхности шара.
15. Верный вариант ответа: б) любую правильную пирамиду.
Обоснование: Сферу можно описать около любой правильной пирамиды, так как она имеет равномерно наклоненные грани и вершина пирамиды лежит на поверхности сферы.
Решение задачи:
16. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 6 см.
Найдем диагональ параллелепипеда, которая является диаметром описанной сферы. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного диагональю, одним из ребер параллелепипеда и радиусом сферы:
Диагональ^2 = (Одно ребро)^2 + (Одно ребро)^2 + (Одно ребро)^2
Диагональ^2 = 3*(Одно ребро)^2
Диагональ = √(3*(Одно ребро)^2)
Так как диагональ равна двойному радиусу описанной сферы, то получаем:
2 * 6 см = √(3*(Одно ребро)^2)
12 см = √(3*(Одно ребро)^2)
144 см^2 = 3*(Одно ребро)^2
(Одно ребро)^2 = 144 см^2 / 3
(Одно ребро)^2 = 48 см^2
Одно ребро = √48 см
Одно ребро = 4√3 см
Площадь полной поверхности параллелепипеда:
2 * (Длина * Ширина + Длина * Высота + Ширина * Высота)
2 * (4√3 см * 4√3 см + 4√3 см * 6 см + 4√3 см * 6 см)
2 * (48 см^2 + 24√3 см^2 + 24√3 см^2)
2 * (48 см^2 + 48√3 см^2)
2 * 48(см^2 + √3 см^2)
96(см^2 + √3 см^2)
Ответ: Площадь полной поверхности параллелепипеда равна 96(см^2 + √3 см^2).
17. Около куба с ребром описан шар.
Найдем радиус шара, который равен половине длины диагонали куба:
Диагональ куба = √(Ребро^2 + Ребро^2 + Ребро^2)
Диагональ куба = √(3*(Ребро^2))
Диагональ куба = Ребро√3
Радиус шара = Ребро√3 / 2
Площадь поверхности шара:
4π * (Радиус шара)^2
4π * (Ребро√3 / 2)^2
4π * (Ребро^2 * 3 / 4)
3π * Ребро^2
Ответ: Площадь поверхности шара равна 3π * Ребро^2.
18. Найдем образующую цилиндра, описанного около сферы радиуса 3 д
Образующая цилиндра это диаметр сферы, так как цилиндр охватывает сферу полностью и параллелен одной из осей сферы.
Образующая цилиндра = диаметр сферы = 2 * 3 д = 6 д
Ответ: Образующая цилиндра равна 6 д.