Будем использовать следующие известные факты (они все легко доказываются): 1) Угол между биссектрисами двух углов треугольника равен 90° плюс половина третьего угла треугольника. 2) Биссектриса треугольника пересекает его описанную окружность в точке, лежащей на серединном перпендикуляре к той стороне, к которой проведена биссектриса. 3) Вписанный в окружность угол в 60° опирается на хорду равную R√3.
Пусть E и F - точки пересечения биссектрис треугольников ABD и АСD соответственно. Тогда из этих треугольников в силу 1) получаем ∠AED=∠AFD=90°/2+90°=135°. Значит AEFD - вписанный 4-угольник и радиус окружности описанной вокруг него равен AD/(2sin∠AED))=2/(2/√2)=√2=EF. Центр О этой окружности лежит на серединном перпендикуляре к AD и OH=1 т.к. HD=1 и OD=√2, где H - середина AD. Кроме того, треугольник OEF - равносторонний. С другой стороны, в силу факта 2) прямые BE и CF также пересекаются в точке О, т.к. прямоугольные треугольники ABD и ACD вписаны в окружность с центром H и радиусом HD=1. Таким образом, угол ∠BOC=∠EOF=60°, а значит по свойству 3) BC=√3.
Диагонали выпуклого четырехугольника делят его на треугольники. Стороны четырехугольника, которые соединяют середины сторон ABCD,являются средними линиями таких треугольников, поэтому противоположные стороны такого вписанного четырехугольника равны и параллельны.⇒
Четырехугольник КМНР - параллелограмм.
Отрезки, соединяющие середины сторон исходного четырехугольника диагонали получившегося параллелограмма.
Если диагонали параллелограмма равны, этот параллелограмм– прямоугольник. Противоположные стороны КМНР равны половине диагоналей АВСD.
1) Угол между биссектрисами двух углов треугольника равен 90° плюс половина третьего угла треугольника.
2) Биссектриса треугольника пересекает его описанную окружность в точке, лежащей на серединном перпендикуляре к той стороне, к которой проведена биссектриса.
3) Вписанный в окружность угол в 60° опирается на хорду равную R√3.
Пусть E и F - точки пересечения биссектрис треугольников ABD и АСD соответственно. Тогда из этих треугольников в силу 1) получаем ∠AED=∠AFD=90°/2+90°=135°. Значит AEFD - вписанный 4-угольник и радиус окружности описанной вокруг него равен AD/(2sin∠AED))=2/(2/√2)=√2=EF. Центр О этой окружности лежит на серединном перпендикуляре к AD и OH=1 т.к. HD=1 и OD=√2, где H - середина AD. Кроме того, треугольник OEF - равносторонний. С другой стороны, в силу факта 2) прямые BE и CF также пересекаются в точке О, т.к. прямоугольные треугольники ABD и ACD вписаны в окружность с центром H и радиусом HD=1. Таким образом, угол ∠BOC=∠EOF=60°, а значит по свойству 3) BC=√3.
Смотрим рисунок, данный в приложении.
Диагонали выпуклого четырехугольника делят его на треугольники. Стороны четырехугольника, которые соединяют середины сторон ABCD,являются средними линиями таких треугольников, поэтому противоположные стороны такого вписанного четырехугольника равны и параллельны.⇒
Четырехугольник КМНР - параллелограмм.
Отрезки, соединяющие середины сторон исходного четырехугольника диагонали получившегося параллелограмма.
Если диагонали параллелограмма равны, этот параллелограмм– прямоугольник. Противоположные стороны КМНР равны половине диагоналей АВСD.
Примем длину ВD= а. Тогда АС=3а/4
КР=ВD:2=а/2
КМ=АС:2=3а/8
По условию диагонали прямоугольника равны 15.
Вычислим по т.Пифагора стороны КМНР.
МР²=КМ²+КР²
15²=(3а/8)²+(а/2)²
225=9а²/64+а²/4 ⇒
25а²/64=225 откуда
а²=576
а=24
КР=МН=24:2=12
КМ=РН=24:8•3=9