Площадь треугольника АВД равна сумме площадей треугольников АМД и АВМ и равна 6+3=9.Высота треугольника АВД равна высоте трапеции АВСД.Введём обозначения: h - высота треугольника АМД, H - высота треугольника АВД, a - нижнее основание трапеции, в - верхнее основание.Отношение высот определим из их площадей:(1/2)a*h = 6,(1/2)a*H = 9.Отсюда h/Н = 6/9 = 2/3.Теперь рассмотрим треугольник ВМС. Он подобен треугольнику АМД. Высота его равна Н - h, а площадь пропорциональна квадрату сходственных сторон.Произведение a*h = 6*2 = 12, a*H = 9*2 = 18.Если принять целочисленные значения этих величин, то такое соотношение возможно при значениях а = 3, h = 4, Н = 6.Тогда Н - h = 6 - 4 = 2.Площадь треугольника ВМС равна: (1/2)в*(Н - h) = (1/2)в*2 = в.Отношение площадей треугольников ВМС и АМД равно (Н – h)²/h² = 2²/ 4² = 4/16 = 1/4.То есть S(ВМC) = (1/4)*S(АМД), (1/2)в*(Н - h) = (1/4)*6. (1/2)в*2 = 6/4, в = 6/4 = 3/2. Перенесём сторону ВС к нижнему основанию в точку Д. Получим треугольник АВД₁, равновеликий по площади трапеции АВСД. S(АВСД) = S(АВД₁) = (1/2)*H*(a+в) = (1/2)*6*(3+(3/2)) = 27/2 = 13,5 кв.ед.
(1/2)в*(Н - h) = (1/2)в*2 = в.Отношение площадей треугольников ВМС и АМД равно
(Н – h)²/h² = 2²/ 4² = 4/16 = 1/4.То есть S(ВМC) = (1/4)*S(АМД),
(1/2)в*(Н - h) = (1/4)*6.
(1/2)в*2 = 6/4,
в = 6/4 = 3/2.
Перенесём сторону ВС к нижнему основанию в точку Д.
Получим треугольник АВД₁, равновеликий по площади трапеции АВСД.
S(АВСД) = S(АВД₁) = (1/2)*H*(a+в) = (1/2)*6*(3+(3/2)) = 27/2 = 13,5 кв.ед.
1) Провести в трапеции высоты BK⊥AD; CM⊥AD
Пусть AK=x. Тогда MD = AD - BC - AK = 12-8-x = 4-x
ΔABK прямоугольный : ∠AKB = 90°. Теорема Пифагора
h² = BK² = AB² - AK² = 13² - x²
ΔDCM прямоугольный : ∠DMC = 90°. Теорема Пифагора
h² = CM² = CD² - MD² = 15² - (4-x)²
⇒ 13² - x² = 15² - (4-x)²
169 - x² = 225 - 16 - x² + 8x
-56 = 8x Так как длина отрезка не может быть отрицательной, то трапеция не может иметь вид 1)
2) Провести в трапеции высоты BK⊥AD; CM⊥AD
Пусть AK=x. Тогда MD = AD - BC + AK = 12-8+x = 4+x
ΔABK прямоугольный : ∠AKB = 90°. Теорема Пифагора
h² = BK² = AB² - AK² = 13² - x²
ΔDCM прямоугольный : ∠DMC = 90°. Теорема Пифагора
h² = CM² = CD² - MD² = 15² - (4+x)²
⇒ 13² - x² = 15² - (4+x)²
169 - x² = 225 - 16 - x² - 8x
8x = 40; x = 5
h² = 13² - x² = 169 - 25 = 144; h = 12
Площадь трапеции
S = (AD + BC)*h/2 = (12+8)*12/2 = 120 кв. ед.