Выполнить рисунок правильной шестиугольной пирамиды. Построить сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, если данная плоскость делит высоту пирамиды в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Вычислить площадь полученного сечения, если площадь основания пирамиды равна 30 см², а высота пирамиды равна 6 см.​

В равнобедренном треугольнике биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают. Пусть в равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведены биссектрисы AA1,BB1,CC1. Точка O является точкой пересечения биссектрис AA1 и CC1. Так как биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, BB1 проходит через точку O. Так как биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают, BB1 - высота. Тогда BB1 перпендикулярна AC. Так как точка O лежит на отрезке BB1, прямая BO и прямая BB1 совпадают (это одна и та же прямая, которую можно назвать по-разному). Значит, прямая BO перпендикулярна AC, что и требовалось доказать. 

Пусть ABCD - прямоугольная трапеция с прямым углом A. По условию, AD=20, BC=10. Проведём высоту CH из тупого угла C. Тогда ABCH - прямоугольник, значит, AH=BC=10. Отсюда следует, что DH=AD-AH=10. CDH - прямоугольный треугольник, в котором угол D равен 45 градусам (CD - большая боковая сторона трапеции). Значит, треугольник является равнобедренным прямоугольным, и его катеты равны, то есть, CH=HD=10. Таким образом, высота трапеции равна 10, тогда можно найти площадь, которая равна произведению высоты и полусуммы оснований - S=(20+10)/2*10=150.