Высота четырехугольной пирамиды равна 4 см и проходит через точку пересечения диагоналей пирамиды. Найдите площади боковой и полной поверхности пирамиды, если в основании лежит квадрат со стороной 8√3 см
Эта задача решается сама собой, если представить такой ромб, как составленный из 2 равностороних треугольников.
Сраз ясно, что высоты ромба (вот эти самые перпендикуляры) равны 6. (Каждый из этих перпендикуляров - высота в правильном треугольнике, и приходит в середину соседних сторон ромба, поэтому расстояние между концами - это половина большой диагонали (средняя линяя!), которая (БОЛЬШАЯ ДИАГОНАЛЬ РОМБА!, в свою очередь) составлена из 2 таких высот правильного треугольника :)))
Итак, высота ромба 6. Значит сторона 6/(корень(3)/2) = 4*корень(3). А периметр
16*корень(3).
Это повтор такого же моего решения... :))) Я предполагаю, что соотношение между стороной правильного треугольника и его высотой вам известно.
Это h = a*корень(3)/2. Его легко получить из простой теоремы Пифагора для треугольника с гипотенузой 2 и катетом 1 (это как бы половина правильного треугольника). Второй катет будет корень(3), а отношение к гипотенузе - корень(3)/2 (само собой, это справделиво ДЛЯ ЛЮБОГО правильного треугольника, они все между собой подобны).
1)
Пирамида правильная, диагональное сечение - равнобедренная трапеция АА1С1С с основаниями АС=9√2 и А1С1=3√2
Высота С1Н=СН•tg60°
CН=(АС-А1С1):2=3√2=>
C1H=3√2√2=6
S(AA1C1C)=(AC+A1C1)•CH:2=(9√2+3√2)•6:2=36√2 (ед. площади).
2)
Боковые грани правильной усеченной пирамиды - равнобедренные трапеции.
S (бок) равна сумме их площадей.
Для решения задачи необходимо найти стороны оснований и их высоту.
Формула площади правильного треугольника
S=(a²√3):4=>
a²=4S:√3
AB²=4•36√3:√3=144 => AB=√144=12
А1В1²=4•9√3:√3=36 => A1B1=√36=6
Основания правильной усеченной пирамиды параллельны, поэтому подобны.
k=A1B1:AB=12:6=1/2
Проведем в ∆ АВС высоту СН, в боковой грани АА1ВВ1 высоту НН1.
СН⊥АВ и АН=ВН
НН1⊥АВ и АН=ВН
Двугранный угол равен линейному углу между лучами, проведенными в гранях двугранного из одной точки его ребра перпендикулярно к нему.=>
Угол Н1НС=60°.
Точка О - центр правильного ∆ АВС ( в ней пересекаются его медианы) . Поэтому СО:ОН=2:1, ОН=СН:3
СН=ВС•sinCBH=12¨√3/2=6√3.
ОН=2√3
В трапеции НН1С1С опустим высоту Н1К.
ОК=О1Н1=ОН:2=√3
КН=ОН-ОК=√3
Из прямоугольного ∆ НН1К гипотенуза НН1=НК:cos60°=(√3):√3/2=2
S(AA1B1B)=(AB+A1B1)•HH1:2=18
S(бок)=3•18=54 (ед. площади)
Эта задача решается сама собой, если представить такой ромб, как составленный из 2 равностороних треугольников.
Сраз ясно, что высоты ромба (вот эти самые перпендикуляры) равны 6. (Каждый из этих перпендикуляров - высота в правильном треугольнике, и приходит в середину соседних сторон ромба, поэтому расстояние между концами - это половина большой диагонали (средняя линяя!), которая (БОЛЬШАЯ ДИАГОНАЛЬ РОМБА!, в свою очередь) составлена из 2 таких высот правильного треугольника :)))
Итак, высота ромба 6. Значит сторона 6/(корень(3)/2) = 4*корень(3). А периметр
16*корень(3).
Это повтор такого же моего решения... :))) Я предполагаю, что соотношение между стороной правильного треугольника и его высотой вам известно.
Это h = a*корень(3)/2. Его легко получить из простой теоремы Пифагора для треугольника с гипотенузой 2 и катетом 1 (это как бы половина правильного треугольника). Второй катет будет корень(3), а отношение к гипотенузе - корень(3)/2 (само собой, это справделиво ДЛЯ ЛЮБОГО правильного треугольника, они все между собой подобны).