Высота остроугольного треугольника равна 12 см . На каком расстоянии от вершины нужно прямую перпендикулярную этой высоте чтобы площадь треугольника разделить пополам?

Если Вы еще не изучали, что такое синус угла,  можно обойтись без него. 
См. рисунок.
В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°  
Следовательно,  угол С равен 180°-150°=30°.
 Опустив из С высоту на продолжение АD, получим прямоугольный треугольник с острым углом СDН, равным 30°, т.к. он - накрестлежащий при пересечении параллельных прямых секущей СD.  
Наверняка Вам уже известно, что сторона прямоугольного треугольника, противолежащая углу 30 °  равна половине гипотенузы этого треугольника. 
Высота СН равна половине СD
СD=2*СН=4 см  
Но в параллелограмме противоположные стороны равны и параллелльны.
Следовательно,
 АВ=СD=4 см

Смотрим рисунок, данный в приложении. 

Диагонали выпуклого четырехугольника делят его на треугольники. Стороны четырехугольника, которые  соединяют середины сторон ABCD, являются средними линиями таких треугольников, поэтому противоположные стороны такого вписанного четырехугольника равны и параллельны.⇒ 

Четырехугольник КМНР - параллелограмм. 

 Отрезки, соединяющие середины сторон исходного четырехугольника - диагонали получившегося параллелограмма. 

Если диагонали параллелограмма равны, этот параллелограмм– прямоугольник. Противоположные стороны КМНР  равны половине диагоналей АВСD. 

Примем длину ВD= а. Тогда АС=3а/4

КР=ВD:2=а/2

КМ=АС:2=3а/8 

По условию диагонали прямоугольника равны 15. 

Вычислим по т.Пифагора стороны КМНР. 

МР²=КМ²+КР²

15²=(3а/8)²+(а/2)²

225=9а²/64+а²/4 ⇒

25а²/64=225 откуда 

а²=576

а=24

КР=МН=24:2=12

КМ=РН=24:8•3=9