Высота правильной треугольной пирамиды равна 16 см, а угол, который образует апофема с плоскостью основания пирамиды, равен 30°. Вычисли объём пирамиды. Объём равен ‾‾‾‾‾√см3
Для того чтобы вычислить объём пирамиды, мы можем использовать следующую формулу:
V = (1/3) * S * h,
где V - объём пирамиды, S - площадь основания пирамиды и h - высота пирамиды.
Давайте начнём с вычисления площади основания пирамиды. Поскольку дана информация о том, что пирамида является правильной треугольной пирамидой, мы знаем, что основание - это равносторонний треугольник.
Для нахождения площади треугольника, нам понадобится знание его стороны. Но у нас есть высота пирамиды, а не сторона треугольника.
Поэтому нам нужно найти длину стороны треугольника. Для этого мы можем использовать теорему Пифагора.
В треугольнике, с одним углом, равным 90°, высота является гипотенузой, апофема - одной из катетов, и сторона треугольника - другим катетом.
Теорема Пифагора утверждает, что сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.
В нашем случае, высота пирамиды - гипотенуза, а апофема - один из катетов.
Таким образом, мы можем записать уравнение:
h^2 = s^2 + a^2,
где h - высота пирамиды, s - сторона треугольника и a - апофема.
Мы знаем, что высота равна 16 см, а угол между апофемой и плоскостью основания равен 30°.
Так как у нас справедлива прямоугольная теорема, значит угол противоположный к апофеме, будет равен 60°, так как сумма всех углов треугольника равна 180°.
Теперь мы можем использовать тригонометрические соотношения синуса и косинуса для нахождения стороны треугольника.
sin(30°) = a / h,
sin(30°) = s / h.
Отсюда мы можем найти сторону треугольника:
s = sin(30°) * h = sin(30°) * 16.
Теперь, когда у нас есть сторона треугольника, мы можем вычислить площадь основания пирамиды, которая равна площади правильного треугольника.
V = (1/3) * S * h,
где V - объём пирамиды, S - площадь основания пирамиды и h - высота пирамиды.
Давайте начнём с вычисления площади основания пирамиды. Поскольку дана информация о том, что пирамида является правильной треугольной пирамидой, мы знаем, что основание - это равносторонний треугольник.
Для нахождения площади треугольника, нам понадобится знание его стороны. Но у нас есть высота пирамиды, а не сторона треугольника.
Поэтому нам нужно найти длину стороны треугольника. Для этого мы можем использовать теорему Пифагора.
В треугольнике, с одним углом, равным 90°, высота является гипотенузой, апофема - одной из катетов, и сторона треугольника - другим катетом.
Теорема Пифагора утверждает, что сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.
В нашем случае, высота пирамиды - гипотенуза, а апофема - один из катетов.
Таким образом, мы можем записать уравнение:
h^2 = s^2 + a^2,
где h - высота пирамиды, s - сторона треугольника и a - апофема.
Мы знаем, что высота равна 16 см, а угол между апофемой и плоскостью основания равен 30°.
Так как у нас справедлива прямоугольная теорема, значит угол противоположный к апофеме, будет равен 60°, так как сумма всех углов треугольника равна 180°.
Теперь мы можем использовать тригонометрические соотношения синуса и косинуса для нахождения стороны треугольника.
sin(30°) = a / h,
sin(30°) = s / h.
Отсюда мы можем найти сторону треугольника:
s = sin(30°) * h = sin(30°) * 16.
Теперь, когда у нас есть сторона треугольника, мы можем вычислить площадь основания пирамиды, которая равна площади правильного треугольника.
S = (sqrt(3) / 4) * s^2 = (sqrt(3) / 4) * (sin(30°) * 16)^2.
Теперь, когда у нас есть площадь основания и высота пирамиды, мы можем найти объём пирамиды, подставив значения в формулу:
V = (1/3) * S * h = (1/3) * [(sqrt(3) / 4) * (sin(30°) * 16)^2] * 16.
Вычисляя эту формулу, мы получим значение объёма пирамиды, которое будет равно ‾‾‾‾‾√см^3.