Высота правильной треугольной пирамиды равна 4√3, а радиус окружности, описанной около ее основания, 12. Найдите угол между высотой и боковым ребром пирамиды.

Решаем на основании: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его четырех сторон.  Вершину пирамиды обозначим буквой Е. Параллелограмм АВСД, где АС и ВД-диагонали параллелограмма. Формула АС2+ВД2=2(АВ2+ВС2). Из нее находим АС2=2(АВ2-ВС2) - ВД2=80. Тогда АС=корень квадратный из 80. Противоположные боковые ребра равны. Находим из теоремы Пифагора ребра ДЕ и ВЕ.  ДЕ=ВЕ=корень квадратный из суммы 9 в квадрате+4 в квадрате=корень квадратный из 25=5см. Ребра АЕ=СЕ=корень квадратный из суммы (корень квадратный из 80, деленный на 2 в квадрате+  4 в квадрате), получится корень квадратный из 36=6см.

Вообще, радиус окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис этого треугольника
У нас по условию треугольник правильый. А это значит, что биссектриса будет высотой и медианой.
Также мы знаем, что медианы точкой пересечния делятся в отношении 2:1 считая от вершины.
Т.е. допустим центр окружности - точка О. тогда это также точка пересечения медиан. Тогда из свойства выше, AO:OH=2:1, где H - точка, принадлежащая стороне BC, и являющаяя "концом" высоты AH проведенной к BC.
Мы можем найти AH из прямоугольного треугольника BAH
BH=1/2 BC т.к. AH высота и медиана а значит делит BC пополам. 
AH=√ (AB² - (BC/2)²) т.к. в равностороеннем т.е. арвильном треуголнике все стороны равны то подставляем значение 2√3 и находим AH=3 
Отсюда следует, что AO=2 а OH=1, где ОН также является радиусом окружности :)
ответ 1