Высота равнобедренного треугльника, проведенная к основанию, равна 32 см, радиус окружности вписанной в треугольник 12 см. найти радиус окружности описанной около данного треугольника.

АВС, АВ основание. М - основание высоты, К и Р - точки касания боковыз сторон АС и ВС.

x = АМ = АК = МВ = ВР.

СО = 32 - 12 = 20;

Треугольник СОК. гипотенуза 20 катет 12, => второй 16 (опять 3,4,5 :)),

САМ подобен СОК, 

x/32 = 12/16; x = 24, стороны АВ = 48; ВС = АС = 40,

удвоенная площадь 2*S = 48*32; вычислять не надо

{R = abc/4S - эта формула получается из S = a*h/2

c учетом h = b*sin(C); и 2*R*sin(C) = c; (это теорема синусов)}

R = 48*40*40/(2*48*32) = 25.

Есть и другой вычисления R. Продлим высоту СМ за основание, и проведем из А перпендикуляр к АС до перпесечения с СМ, точку пересечения обозначим Т. 

Тогда АМ^2 = CМ*МТ, МТ = 18; CТ = 50; но это диаметр окружности, проходящей через С и А, и - в силу симметрии, через В, R = 25;

отметим боковую сторону как "х" а основание как "у"

тогда : r = 2S / a+b+c , S = 32*у / 2 = 16у

32у / 2х+у = 12, 5у = 6х, х = 5у/6.

из прямоугольного треугольника где высота 32 и половина основания у/2, найдем у:

25у"/36 - у"/4 = 1024, у = 48, значит х = 40

R = abc/4S = 40*40*48 / 4*768 = 25 см поблагодарите)