Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 8 и 9. найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота делит её пополам.

Высоты делят треугольник АВС на прямоугольные треугольники.
Прямоугольные треугольники АВН и ОВК подобны по острому углу (<ОВК - общий).
Прямоугольные треугольники ОСН и ОВК подобны по острому углу (<ВОК=<HOC - вертикальные).
Значит треугольники АВН и СОН тоже подобны. Из подобия имеем:
АH/ОН=ВH/HС или 8/х=2х/9. Тогда x•2x=9•8
2x²=72, x²=36, x=6
BО=ОH=6
BH=12

ответ: искомая высота равна 12.