Высота треугольника в 3 раза меньше стороны к которой она проведена. Найдите эту сторону, если площадь треугольника равна 18кв.см.

Проведем высоту ЕН в равнобедренном треугольнике EFM. Эта высота является и медианой, то есть МН=НF=10√6.   В прямоугольном треугольнике ЕРН <EPH=60° (так как это угол между ЕР и плоскостью МРF), значит <PHE=30°. Тогда РН=2*РЕ=20 (РЕ - против угла 30°). РН - апофема (высота) грани МРЕ. Площадь этой грани равна Smpe=0,5*MF*PH=0,5*20√6*20 = 200√6.
Из треугольника ЕРН по Пифагору ЕН=√(PH²-PE²)=10√3.
Из треугольника ЕНМ по Пифагору ЕМ=√(ЕH²+НМ²)=√(300+600)=30.
Площадь грани ЕРМ=0,5*ЕМ*РЕ=0,5*30*10=150.
Площадь боковой поверхности пирамиды Sб=2*150+200√6 =300+200√6=100(3+2√6).

Задание 3.  
коэффициент подобия k =a₁/a₂ >0 . 
(a₁/a₂)² =S₁/S₂ ⇒a₁=a₂*√(S₁/S₂) =9*√(75/300) =9*√(1/4) =9 /2 =4,5  (см).
Задание 4.
k = (a₁/a₂) =6 см / 4 см = 3/2 ;  S₁+S₂ =78 ;
{ S₁+S₂ =78 ;S₁/S₂ =(3/2)² . ⇔ { (S₁/S₂ +1)*S₂ =78 ;S₁/S₂ =9/4.  ⇔
{ (9/4 +1)*S₂ =78 ; S₁ =(9/4) *S₂.  ⇔ { (13/4)*S₂ =78 ;S₁ =(9/4)*S₂ ⇔                  { S₁ =(9/4)*24 ; S₂ =24 .⇔ { S₁ =54 (см²) ; S₂ =24 (см²).
Задание 5.
k =√ (S₁/S₂)  = √ (25/100)  =√ (1/4)  =1/2.
a₁/a₂ =k ⇔a₁ =k*a₂ =(1/2)*6 см =3 см и b₁ =k*b₂ =(1/2)*10  =5 см.
Задание 6.
Все  равносторонние  треугольники подобны 
 k² = (a₂/a₁)² = S₁/S₂ ⇒a₂ = a₁*√(S₁/S₂) =1* √ 3.
a₂ =√ 3..