Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани, проведенная из вершины пирамиды, равна 41 см. а) докажите, что высота пирамиды проходит через цент окружности, вписанной в ее основание. б)найдите площадь основания пирамиды, если его периметр равен 42 см.
а) Пусть МО - высота пирамиды, МК, МН и МР - высоты боковых граней.
МК = МН = МР = 41 см по условию,
∠МОК = ∠МОН = ∠МОР = 90°, так как МО высота пирамиды,
МО - общий катет для треугольников МОК, МОН и МОР, значит эти треугольники равны по гипотенузе и катету, следовательно
ОК = ОН = ОР.
МК⊥АВ, ОК - проекция наклонной МК на плоскость АВС, значит
ОК⊥АВ по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах.
МН⊥ВС, ОН - проекция наклонной МН на плоскость АВС, значит
ОН⊥ВС по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах.
Аналогично, ОР⊥АС.
Тогда ОК, ОН и ОР - расстояния от точки О до соответствующих сторон.
Так как отрезки ОК, ОН и ОР равны, то точка О равноудалена от сторон треугольника АВС, значит это центр вписанной в треугольник окружности.
б)
Рассмотрим треугольник МОК:
по теореме Пифагора
ОК = √(МК² - МО²) = √(41² - 40²) = √((41 - 40)(41 + 40)) =
= √(1 · 81) = 9 см - радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.
Sabc = pr, где р - полупериметр ΔАВС.
Sabc = 42/2 · 9 = 21 · 9 = 189 см²