Высоты, проведённые к боковым сторонам AB и BC равнобедренного треугольника ABC, пересекаются в точке M. Прямая BM пересекает основание AC в точке N. Определи AN, если AC=22см.
Точка С находится на оси ординат, значит имеет координаты С(0;y;0). Вектор АС(-2;y-5;-8). Модуль вектора (его длина) |AC|=√(4+(y-5)²+64). Вектор ВС(-6;(y-1);0). Модуль вектора (его длина) |BC|=√(36+(y-1)²+0). Модули (длины) этих векторов равны по условию. Значит √(4+(y-5)²+64)=√(36+(y-1)²+0). Возведем обе части в квадрат: 4+(y-5)²+64=36+(y-1)² или 4+y²-10y+25+64=36+y²-2y+1 8y=56. y=7. ответ: С(0;7;0)
Проверим: |AC|=√(4+4+64)=√72, |BC|=√(36+36+0)=√72. То есть точка С находится на равном расстоянии (равноудалена) от точек А и В.
Высота СН прямоугольного треугольника АВС делит гипотенузу АВ на отрезки АН (проекция катета АС) и ВН (проекция катета ВС),
По условию ВН=АН+2 и ВС:АС=3:2
Катет прямоугольного треугольника есть среднее среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. ⇒
АС²=АВ•АН
ВС²=АВ•ВН
Примем АН=х, тогда ВН=х+2, и АВ=2х+2
АС²=АВ•х
ВС²=АВ•(х+2)
ВС:АС=3/2, следовательно, ВС²:АС²=9:4 =>
АВ•(х+2):АВ•х=9:4 =>
( х+2):х=9:4, откуда
5х=8, х=1,6
АВ=2•1,6+2=5,2 (ед. длины)
Вектор АС(-2;y-5;-8). Модуль вектора (его длина) |AC|=√(4+(y-5)²+64).
Вектор ВС(-6;(y-1);0). Модуль вектора (его длина) |BC|=√(36+(y-1)²+0).
Модули (длины) этих векторов равны по условию. Значит
√(4+(y-5)²+64)=√(36+(y-1)²+0).
Возведем обе части в квадрат:
4+(y-5)²+64=36+(y-1)² или
4+y²-10y+25+64=36+y²-2y+1
8y=56.
y=7.
ответ: С(0;7;0)
Проверим: |AC|=√(4+4+64)=√72, |BC|=√(36+36+0)=√72.
То есть точка С находится на равном расстоянии (равноудалена) от точек А и В.