Высоты , проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке Р. Найдите угол ВРС, если угол ВАС=660.
Пусть в треугольнике АВС угол А равен а, угол с равен ь, проведены биссектрисы AD и СЕ, которые пересекаются в точке О (см. рисунок). Рассмотрим треугольник АОС. Сумма его углов равна 180 градусам, тогда угол АОС равен 180-1/2ВАC-1/2BCA= 180- AC - ECA = 180 - 1/2 (a+b). Угол, под которым пересекаются две прямые это наименьший из углов, которые получаются при их пересечении. Докажем, что угол ЕОА будет меньше угла АОС, тогда угол ЕОА - угол, под которым пересекаются биссектрисы. Действительно, угол ЕОА является смежным с углом АОС, тогда он равен 1/2(a+b). Так как а+ь<180, 1/2(a+b)<90 и 2(a + b) < 180 /2(a+b), то есть, какими бы ни были углы а и ь, угол ЕОА всегда будет меньше угла АОС. Окончательный ответ - 1/2(a+b).
Объяснение:
Соединим радиусы с касательными и получим прямоугольные треугольники.
КО=ОМ=3
Рассмотрим ∆АОМ;
АО- гипотенуза
ОМ- катет против угла 30°
АО=2*ОМ=2*3=6
Теорема Пифагора
АМ=√(АО²-ОМ²)=√(6²-3²)=√(36-9)=√27=
=3√3
АМ=АК, свойство касательных проведенных из одной точки.
АК=3√3;
АО- биссектрисса угла <КАМ
<КАМ=2*<ОАМ=2*30°=60°
Рассмотрим ∆АВС.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°
<В=90°-<САВ=90°-60°=30°
AC=CK+KA=3+3√3
tg<B=AC/CB
tg30°=1/√3
1/√3=(3+3√3)/CB
CB=√3(3+3√3)=3√3+3*3=3√3+9
S(∆ABC)=1/2*AC*CB=1/2*(3√3+9)(3+3√3)=
=1/2(9√3+27+27+27√3)=1/2(54+36√3)=
=1/2*2(18√3+27)=18√3+27
ответ: 18√3+27
Задача 2)
Треугольник ∆АВС- равнобедренный
АВ=ВС, так как углы при основании равны, <А=<С по условию.
ЕС=СD, свойство касательных
ВЕ=ВК, свойство касательных
Так как треугольник равнобедренный, то
АК=АD=DC=CE.
AC=8x*2=16x
AB=BC=9x+8x=17x
Формула нахождения радиуса
r=AC/2√((2*AB-AC)/(2AB+AC))=
=16x/2√((2*17x-16x)/(2*17x+16x))=
=8x√((34x-16x)/(34x+16x))=8x√(18x/50x)=
=8x√(9/25)=8x*3/5=24x/5=4,8x
r=4,8x
r=24
4,8x=24
x=24/4,8
x=5
AB=17x=17*5=85
AC=16x=16*5=80
AD=AC/2=80/2=40
Теорема Пифагора
ВD=√(AB²-AD²)=√(85²-40²)=√(7225-1600)=
=√5625=75
S(∆ABC)=1/2*BD*AC=1/2*75*80=3000
ответ: 3000 ед²
Пусть в треугольнике АВС угол А равен а, угол с равен ь, проведены биссектрисы AD и СЕ, которые пересекаются в точке О (см. рисунок). Рассмотрим треугольник АОС. Сумма его углов равна 180 градусам, тогда угол АОС равен 180-1/2ВАC-1/2BCA= 180- AC - ECA = 180 - 1/2 (a+b). Угол, под которым пересекаются две прямые это наименьший из углов, которые получаются при их пересечении. Докажем, что угол ЕОА будет меньше угла АОС, тогда угол ЕОА - угол, под которым пересекаются биссектрисы. Действительно, угол ЕОА является смежным с углом АОС, тогда он равен 1/2(a+b). Так как а+ь<180, 1/2(a+b)<90 и 2(a + b) < 180 /2(a+b), то есть, какими бы ни были углы а и ь, угол ЕОА всегда будет меньше угла АОС. Окончательный ответ - 1/2(a+b).