Для определения коллинеарности векторов a, b и c, необходимо проверить, существует ли такое число k, при котором вектор a можно представить как произведение вектора b на число k и вектора c. Иными словами, мы должны найти такую константу k, для которой выполняется равенство a = k * b + c.
Давайте сначала проверим, выполняется ли это равенство для векторов a и b:
a = k * b + c
(2;-3;1) = k * (-4;6;-2) + (3;-2;1)
Теперь решим это уравнение:
Чтобы уравнение было верным, координаты левой стороны должны равняться сумме произведения координат вектора b на k и соответствующих координат вектора c.
2 = -4k + 3
-3 = 6k - 2
1 = -2k + 1
Решим первое уравнение:
-4k + 3 = 2
-4k = -1
k = 1/4
Решим второе уравнение:
6k - 2 = -3
6k = -1
k = -1/6
Решим третье уравнение:
-2k + 1 = 1
-2k = 0
k = 0
Таким образом, мы получили три значения для k: 1/4, -1/6 и 0.
Теперь, чтобы доказать, что векторы a, b и c коллинеарны, мы должны проверить, выполняется ли это равенство для всех трех значений k. Если это истинно для любого значения k, то векторы коллинеарны.
Для k = 1/4:
a = (2;-3;1)
b = (1/4) * (-4;6;-2) + (3;-2;1)
b = (-1;3/2;-1/2) + (3;-2;1)
b = (2; -1/2; 1/2)
Для k = -1/6:
a = (2;-3;1)
b = (-1/6) * (-4;6;-2) + (3;-2;1)
b = (2/3; -1; 1/3)
Для k = 0:
a = (2;-3;1)
b = 0 * (-4;6;-2) + (3;-2;1)
b = (3;-2;1)
Таким образом, мы видим, что для каждого значения k вектор a представляется в виде произведения вектора b на k и вектора c. Это означает, что векторы a, b и c коллинеарны.
Теперь найдем скалярное произведение для векторов a и b. Скалярное произведение вычисляется следующим образом:
a*b = (x1*y1) + (x2*y2) + (x3*y3)
где (x1, x2, x3) и (y1, y2, y3) - координаты векторов a и b соответственно.
Давайте сначала проверим, выполняется ли это равенство для векторов a и b:
a = k * b + c
(2;-3;1) = k * (-4;6;-2) + (3;-2;1)
Теперь решим это уравнение:
Чтобы уравнение было верным, координаты левой стороны должны равняться сумме произведения координат вектора b на k и соответствующих координат вектора c.
2 = -4k + 3
-3 = 6k - 2
1 = -2k + 1
Решим первое уравнение:
-4k + 3 = 2
-4k = -1
k = 1/4
Решим второе уравнение:
6k - 2 = -3
6k = -1
k = -1/6
Решим третье уравнение:
-2k + 1 = 1
-2k = 0
k = 0
Таким образом, мы получили три значения для k: 1/4, -1/6 и 0.
Теперь, чтобы доказать, что векторы a, b и c коллинеарны, мы должны проверить, выполняется ли это равенство для всех трех значений k. Если это истинно для любого значения k, то векторы коллинеарны.
Для k = 1/4:
a = (2;-3;1)
b = (1/4) * (-4;6;-2) + (3;-2;1)
b = (-1;3/2;-1/2) + (3;-2;1)
b = (2; -1/2; 1/2)
Для k = -1/6:
a = (2;-3;1)
b = (-1/6) * (-4;6;-2) + (3;-2;1)
b = (2/3; -1; 1/3)
Для k = 0:
a = (2;-3;1)
b = 0 * (-4;6;-2) + (3;-2;1)
b = (3;-2;1)
Таким образом, мы видим, что для каждого значения k вектор a представляется в виде произведения вектора b на k и вектора c. Это означает, что векторы a, b и c коллинеарны.
Теперь найдем скалярное произведение для векторов a и b. Скалярное произведение вычисляется следующим образом:
a*b = (x1*y1) + (x2*y2) + (x3*y3)
где (x1, x2, x3) и (y1, y2, y3) - координаты векторов a и b соответственно.
a = (2;-3;1)
b = (-4;6;-2)
a*b = (2*-4) + (-3*6) + (1*-2)
a*b = -8 - 18 - 2
a*b = -28
Таким образом, скалярное произведение векторов a и b равно -28.