1) Треугольники, образованные пересекающимися диагоналями и основаниями трапеции, подобны по равным углам: вертикальные при точке пересечения О и накрестлежащие при основаниях, и k=AD:ВС=4:1⇒
АО:СО=4:1
2) Так как ЕF параллельна основаниям трапеции, ∆АВС и ∆АЕО подобны с коэффициентом подобия АО:АС,=4:(4+)=4/5
Аналогично из подобия ∆ ОDF и BDC отношение ОD:ВD=4/5
Тогда ЕО:ВС=ОF:ВС=4/5, откуда ЕО=ОF=8:2=4
Из отношения ЕО:ВС=4/5 находим ВС=5 (ед. длины)
АD=4ВС=4•5=20 (ед. длины)
———
Полезно запомнить это свойство трапеции:
Отрезок, параллельный основаниям трапеции, проходящий через точку пересечения диагоналей и соединяющий две точки на боковых сторонах, делится точкой пересечения диагоналей пополам.
Формула радиуса описанной вокруг правильного треугольника окружности R=a:√3 Если формулу не помните, можно найти радиус иначе. Центр описанной вокруг правильного треугольника окружности находится в точке пересечения его биссектрис ( высот, медиан). Эта точка делит высоту (медиану) в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Следовательно, радиус такой окружности равен 2/3 высоты правильного треугольника. Сторона данного треугольника, найденная из периметра, равна 30:3=10 см Углы правильного треугольника равны 60° h=10(sin(60°)=(10√3):2=5√3 R=(5√3)*2:3==10/√3 Сторона вписанного правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности. Следовательно, равна 10/√3. Диагональ правильного четырехугольника ( квадрата) равна диаметру описанной вокруг него окружности. Следовательно, сторона а такого квадрата равна a=10/√3)*sin(45°)=5√6
Обозначим трапецию АВСD. Пусть ВС=а, тогда АD=4а.
1) Треугольники, образованные пересекающимися диагоналями и основаниями трапеции, подобны по равным углам: вертикальные при точке пересечения О и накрестлежащие при основаниях, и k=AD:ВС=4:1⇒
АО:СО=4:1
2) Так как ЕF параллельна основаниям трапеции, ∆АВС и ∆АЕО подобны с коэффициентом подобия АО:АС,=4:(4+)=4/5
Аналогично из подобия ∆ ОDF и BDC отношение ОD:ВD=4/5
Тогда ЕО:ВС=ОF:ВС=4/5, откуда ЕО=ОF=8:2=4
Из отношения ЕО:ВС=4/5 находим ВС=5 (ед. длины)
АD=4ВС=4•5=20 (ед. длины)
———
Полезно запомнить это свойство трапеции:
Отрезок, параллельный основаниям трапеции, проходящий через точку пересечения диагоналей и соединяющий две точки на боковых сторонах, делится точкой пересечения диагоналей пополам.
R=a:√3
Если формулу не помните, можно найти радиус иначе.
Центр описанной вокруг правильного треугольника окружности находится в точке пересечения его биссектрис ( высот, медиан).
Эта точка делит высоту (медиану) в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.
Следовательно, радиус такой окружности равен 2/3 высоты правильного треугольника.
Сторона данного треугольника, найденная из периметра, равна
30:3=10 см
Углы правильного треугольника равны 60°
h=10(sin(60°)=(10√3):2=5√3
R=(5√3)*2:3==10/√3
Сторона вписанного правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности. Следовательно, равна 10/√3.
Диагональ правильного четырехугольника ( квадрата) равна диаметру описанной вокруг него окружности.
Следовательно, сторона а такого квадрата равна
a=10/√3)*sin(45°)=5√6