Із точки до прямої проведені дві похилі, довжини яких дорівнюють 13 см і 15 см. Знайдіть відстань від точки до прямої, якщо різниця проекцій
похилих дорівнює 4 см.​

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то треугольники подобны.

Дано: ∠А = ∠А₁; АВ : А₁В₁  =  АС : А₁С₁ .
Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказательство:
Достроим на стороне АС треугольник АВ₂С, в котором углы, прилежащие к стороне АС, равны углам в треугольнике А₁В₁С₁ (как на рисунке) .
Тогда ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁ по двум углам. Запишем отношение сторон в этих треугольниках:
АВ₂ : А₁В₁ = АС : А₁С₁.
Сравним полученную пропорцию с данной в условии:
АВ : А₁В₁  =  АС : А₁С₁
Значит, АВ₂ = АВ.
Но тогда ΔАВС = ΔАВ₂С по двум сторона и углу между ними (АС - общая, АВ₂ = АВ и ∠А = ∠А₁ = ∠1 по условию).
Итак, ΔАВС = ΔАВ₂С, а ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁, значит
ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказано.

Найдём все расстояния между точками:

АВ = sqrt((2 - (-1)) ^ 2 + (7 - 4) ^ 2) = sqrt(9 + 9) = 3sqrt2

BC = sqrt((1 - (-1)) ^ 2 + (4 - 2) ^ 2) = sqrt(4 + 4) = 2sqrt2

AC = sqrt((2 - 1) ^ 2 + (7 - 2) ^ 2) = sqrt(1 + 25) = sqrt26

Тип треугольника определяется по наибольшему углу, который, в свою очередь, лежит напротив наибольшей стороны треугольника. Чтобы сравнить стороны, можно возвести их длины в квадрат. На неравенство это не повлияет, так как каждая из сторон строго больше 0:

(АВ) ^ 2 = 18

(BC) ^ 2 = 8

(CD) ^ 2 = 26 - Наибольшая сторона.

Найдём наибольший угол треугольника по теореме косинусов:

26 = 18 + 8 - 2(3sqrt2)(2sqrt2)(cos(x)), где х - искомый угол. // - 26

2(3sqrt2)(2sqrt2)(cos(x)) = 0

12*2*cos(x) = 0

24cos(x) = 0 // : 24

cos(x) = 0

x = 90 или 180 градусов, но так как это угол в треугольнике, то он строго меньше 180 градусов (по теореме о сумме углов треугольника) ==> x = 90  градусов ==> треугольник ABC - прямоугольный, ч.т.д.