Рассмотрим треугольники AKO и CMO. Они равны как прямоугольные треугольники по катету (KO=MO) и прилежащему острому углу (KOA=MAC как противоположные углы пересекающихся прямых). Следовательно высоты поделены точкой пересечения на равные отрезки, это свойство равнобедренного треугольника. Если этого мало, то треугольник AMC равен треугольнику CKA по двум катетам (MO=KO, MC=KA из предыдущего доказательства). Следовательно в них равны и углы КАС и МСА, которые являются углами при основании, а это значит что треугольник равнобедренный
1.
М - середина АВ, значит МВ = АВ/2
Р - середина МВ, значит РВ = МВ/2 = АВ/4
К - середина ВС, значит КС = ВС/2
Е - середина КС, значит ЕС = КС/2 = ВС/4
N - середина АС, значит NA = АС/2
G - середина NA, значит GA = NA/2 = AC/4
По условию
PB + EC + GA = 12
АВ/4 + ВС/4 + АС/4 = 12
1/4 · (АВ + ВС + АС) = 12
АВ + ВС + АС = 12 · 4 = 48 (см)
2.
Из решения первой задачи следует, что
АР = 3/4 АВ
ВЕ = 3/4 ВС
CG = 3/4 AC
По условию
AP + BE + CG = 108
3/4 АВ + 3/4 ВС + 3/4 АС = 108
3/4 · (АВ + ВС + АС) = 108
АВ + ВС + АС = 108 · 4/3 = 144 (см)