Із точок D і E, які лежать в одна півлощині відносно прямої m, опущено перпендикуляри DD1 і EE1 на цю пряму. Відомо,що DD1=4 см, EE1+8 см, D1E1=5 см. Якого найменшого значення може набувати сума DX+XE, де X-точка, що належить прямій m?

Треугольники ADC и CDB подобны по двум углам (<DCА=<CВА = половине градусной меры дуги АС согласно теоремам об углах вписанном - АВС и между касательной и хордой - DCA, а <D у них общий).

Из подобия имеем: АС/ВС=DC/BD=AD/DC=10/18 =5/9 (по теореме о биссектрисе угла, делящей противоположную сторону в отношении прилежащих сторон - АС/ВС=АМ/МВ).

Тогда из этих соотношений:

DC=(9/5)*AD (1)

DC=(5/9)*BD (2).

АВ=28 (дано), AD = BD-AB = ВD-28.

Приравняем (1) и (2):

(9/5)*(ВD-28)=(5/9)*BD

BD(9/5-5/9)=28*9/5 =>

BD*56/45 = 28*81/45 =>

BD = 28*81/56 = 81/2 = 40,5 ед.

Тогда из (2): СD=(5/9)*BD = 22,5 ед.

Построение выполняется с циркуля и линейки .
1. Строим прямой угол.
Рисуем прямую а (см.рисунок), на ней отмечаем точку О. Справа и слева от точки О на прямой а циркулем откладываем произвольные равные отрезки АО=ОВ. Из точки А радиусом АВ циркулем ппроводим вверх дугу.Из точки В радиусом АВ циркулем проводим вверх дугу. Точку пересечения двух последних дуг -точку С соедим с точкой О. Получили прямую b. Прямые a и b -перпендикулярны.
2.Строим катеты.
Из точки О на прямой a вправо циркулем отложим отрезок ОD , равный первому катету. Из точки О на прямой b вверх циркулем  отложим отрезок ОЕ, равнй второму катету. Соединим точки Е и D.Треугольник ОЕD построен