З вершини В трикутника АВС (за малюнком) необхідно провести прямі, які відтинають від заданого трикутника подібний. Скільки таких прямих можна провести?

Стороны треугольника равны 13, 20, 21 см. В треугольник вписан полукруг, центр которого лежит на средней по длине стороне Найти площадь полукруга. 
Пусть дан треугольник АВС.
Так как полукруг вписан в треугольник, он касается его большей и меньшей сторон в некоторых точках.
Пусть это будут точки К  на стороне АВ, равной 21 см,  и М на меньшей стороне ВС=13 см. 
Обозначим центр окружности О и соединим его с вершиной В.
Получим два треугольника АОВ и СОВ.
Для каждого из них радиус полукруга является высотой, т.к. перпендикулярен к точке касания. 
Тогда Ѕ ∆ АОВ= АВ*r:2 
S ∆ COB= BC*r:2, а площадь треугольника АВС равна сумме этих треугольников. 
Найдем площадь ∆ АВС по формуле Герона. 
Ѕ=√ p(p-AB)(p-BC)(p-AC), где р - полупериметр ∆ АВС и равен (21+20+13):2=27 см. 
Подставив в формула значения сторон, получим
 Ѕ ∆ АВС=126 см² 
Составим уравнение: 
АВ*r:2+ BC*r:2=126 см² 
r*(АВ+ВС):2=126 
r=126*2:34=126/17 
Тогда площадь   круга πr²   с таким радиусом равна π*15876/289, а его половина  π*7938/289 см² 
Приближенно, если принять  π=3,14,
 площадь полукруга будет ≈86,247 см²  или, 
если применить величину π по калькулятору,  ≈86,3 см²

В круг вписан правильный шестиугольник со стороной 8 см. от вершины шестиугольника до центра проведи отрезки (р) и получишь 6 одинаковых равнобедренных треугольников.
основание равнобедренных треугольников равно 8 см сумма вершин 6 треуг. = 360 градусов Отсюда 1 вершина равна 360/6 =60 градусов. У равобедренного треугольника углы у основания равны а сумма всех углов =180 отсюда 180-60/2 = 60. значит треугольники равносторонние.  отрезок (р) он же радиус = 8 см так как у равностороннего треугольника все стороны равны.
сторона квадрата описаного вокруг окружности равна 2*радиус (р)
8*2 =16