Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
Дано: ∠А = ∠А₁; АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ . Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁. Доказательство: Достроим на стороне АС треугольник АВ₂С, в котором углы, прилежащие к стороне АС, равны углам в треугольнике А₁В₁С₁ (как на рисунке) . Тогда ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁ по двум углам. Запишем отношение сторон в этих треугольниках: АВ₂ : А₁В₁ = АС : А₁С₁. Сравним полученную пропорцию с данной в условии: АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ Значит, АВ₂ = АВ. Но тогда ΔАВС = ΔАВ₂С по двум сторона и углу между ними (АС - общая, АВ₂ = АВ и ∠А = ∠А₁ = ∠1 по условию). Итак, ΔАВС = ΔАВ₂С, а ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁, значит ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁. Доказано.
Дано: ∠А = ∠А₁; АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ .
Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказательство:
Достроим на стороне АС треугольник АВ₂С, в котором углы, прилежащие к стороне АС, равны углам в треугольнике А₁В₁С₁ (как на рисунке) .
Тогда ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁ по двум углам. Запишем отношение сторон в этих треугольниках:
АВ₂ : А₁В₁ = АС : А₁С₁.
Сравним полученную пропорцию с данной в условии:
АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁
Значит, АВ₂ = АВ.
Но тогда ΔАВС = ΔАВ₂С по двум сторона и углу между ними (АС - общая, АВ₂ = АВ и ∠А = ∠А₁ = ∠1 по условию).
Итак, ΔАВС = ΔАВ₂С, а ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁, значит
ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказано.
3. 14см
4. 10+2√3
Объяснение:
3. берём треугольник КLE
угол L =30°, т.к. в треугольнике 180°-90°(прямой угол)и-60°(угол К)
КЕ = 1см (как катет напротив угла 30° равен половине гипотенузы)
RS=LK =2 см (ибо параллельны)
KS=KE+ES=1+4=5
LR=KS (параллельность)
P=LR+RS+SK+KL=5+2+5+2=14cм
4. решаем по такой же схеме.
АД=ВС=3
берем треугольник АДМ(букву М я сама поставила, ибо там пусто)
треугольник АДМ равнобедренный (АД=ДМ)
по теореме косинуса:
угол А равен углу М= (180-60)/2=45°
АМ²=√АД²+ДМ²-2*АД*ДМ*соsуглаД(корень над всем)=√9+9-18*cos60°(=1/2)=√9+9-9=√9=3
АМ=√3
АВ=МВ+АМ=2+√3
ДС=АВ=2+√3(параллельность)
Р=ДС+СВ+АВ+АД=(2+√3)+3+(2+√3)+3=10+2√3