Прощадь ромба S = a^2*sin(α) Площадь каждой из трёх равновеликих фигур S = a^2*sin(α)/3 Две фигуры - это треугольники АВЕ и AFD, третья - четырёхугольник AECF Четырёхугольник AECF в свою очередь состоит из двух равных треугольников AEC и ACF Значит площадь треугольника ABE в два раза больше площади треугольника AEC AH - высота для треугольника ABE и треугольника AEC АН = АB*sin(HBA) = AB*sin(BAD) = a*sin(α) Т.к. высота для треугольника ABE и треугольника AEC общая, то их площади относятся как основания треугольников и ВЕ = 2EC = 2/3a По теореме косинусов AE^2 = AB^2 + BE^2 - 2*AB*BE*cos(π-α) = a^2 + 4/9*a^2 + 2*a*2/3*a*cos(α) = 13/9*a^2 + 4/3*a^2*cos(α) = a^2*(13/9 + 4/3*cos(α)) AE = a*(13/9 + 4/3*cos(α))^(1/2)
Нехай задано рівнобічну трапецію ABCD, основи паралельні AD||BC, сторони AB=CD рівні між собою, BH⊥AD, де BH=12 см – висота трапеції, опущена на сторону AD,
AH=5 см, HD=11 см, звідси AD=AH+HD=5+11=16 см.
Розглянемо прямокутний трикутник ABH (∠AHB=90) та знайдемо за формулою Піфагора гіпотенузу AB:
AB^2=AH^2+BH^2, звідси
Оскільки трапеція ABCD – рівнобічна, то відповіні сторони рівні CD=AB=13 см.
Опустимо ще одну висоту CK на сторону AD, тоді кут прямий CK⊥AD (∠CKD=90).
Розглянемо прямокутні трикутники ABH і KCD.
У них ∠BAH=∠CKD – як кути при основі AD у рівнобічній трапеції ABCD (за властивістю), і CD=AB=13 см.
Тому, за ознакою рівності прямокутних трикутників, трикутники ABH і KCD рівні (за гіпотенузою і гострим кутом), звідси слідує AH=KD=5 см.
Тоді у рівнобічній трапеції:
HK=HD-KD=11-5=6 см, тому BC=HK=6 см.
Знайдемо периметр рівнобічної трапеції ABCD:
P=AB+BC+CD+AD=13+6+13+6=48 см.
Відповідь: 48 см – В.
Приклад 32.12 Дві менші сторони прямокутної трапеції дорівнюють a, а один з її кутів – 450.
Визначити площу трапеції.
Обчислення: Наведемо рисунок прямокутної трапеції
У трапецію ABCD відомо: AD||BC, AB⊥AD, AB=BC=a – менші сторони трапеції, ∠ADC=45 (як єдиний гострий кут прямокутної трапеції).
Оскільки бічна сторона перпендикулярна до основи AB⊥AD, то AB=a – висота прямокутної трапеції.
Опустимо ще одну висоту CK на сторону AD, тобто CK⊥AD (∠CKD=90).
Очевидно, що вона також рівна заданій стороні CK=AB=a.
У прямокутному трикутнику KCD (∠CKD=90, ∠CDK=45), тому ∠DCK=45 (за сумою кутів трикутника), і робимо висновок,що трикутник ΔKCD – рівнобедрений.
Тобто, CK=DK=a (тут AK=BC=a як протилежні сторони квадрата ABCK).
Звідси AD=AK+KD=a+a=2a.
Знайдемо площу прямокутної трапеції:
Цю площу можна було знайти в легший б, розписавши як суму площ квадрата S[ABCK]=a^2 і прямокутного трикутника S[kcd]=a^2/2
Відповідь: 3/2•a^2 – Д.
Приклад 32.15 Точка O, яка є перетином діагоналей трапеції ABCD (AD||BC), ділить діагональ AC на відрізки AO=8 см і AC=4 см.
Знайти основу BC, якщо AD=14 см.
Обчислення: Нехай маємо трапецію ABCD, AD||BC, AD=14 см, AC=4 см, AO=8 см, де AC і BD – діагоналі трапеції ABCD, які перетинаються в точці O.
Розглянемо трикутники AOD і COB.
В них ∠AOD=∠COB як вертикальні.
∠OAD=∠OCB і ∠ADO=∠CBO як внутрішні різносторонні кути при перетині січною AC паралельних прямих AD і BC.
Звідси слідує, що ΔAOD~ΔCOB (тобто трикутники подібні за трьома кутами).
З цього слідує, що їх відповідні сторони пропорційні, тобто
звідси
Отже, BC=7 см – основа трапеції.
Відповідь: 7 см – В.
Приклад 32.16 Менша основа трапеції дорівнює 20 см. Точка перетину діагоналей віддалена від основ на 5 і 6 см.
Знайдіть площу трапеції.
Обчислення: До умови задано рисунок, який має вигляд
Для трапеції записуємо все що на момент прочитання умови відомо:
AD||BC, BC=20 см, MO=5 см, ON=8 см, де AC і BD – діагоналі трапеції ABCD, які перетинаються в точці O, MO та ON – відстані від точки O до основ трапеції BC і AD, відповідно (тобто MO⊥BC, ON⊥AD).
Розглянемо трикутники AOD і COB. В них ∠AOD=∠COB як вертикальні.
∠OAD=∠OCB і ∠ADO=∠ CBO як внутрішні різносторонні кути при перетині січною AC паралельних прямих AD і BC.
Звідси робимо висновок, що ΔAOD~ΔCOB (тобто трикутники подібні за трьома кутами).
З цього слідує, що їх відповідні сторони (а значить і висоти MO та ON цих трикутників) пропорційні, тобто
звідси
Оскільки MO⊥BC, ON⊥AD, то MN⊥AD (або MN⊥BC), звідси слідує, що MN – висота трапеції (тобто точки M, O і N лежать на одній прямій).
S = a^2*sin(α)
Площадь каждой из трёх равновеликих фигур
S = a^2*sin(α)/3
Две фигуры - это треугольники АВЕ и AFD, третья - четырёхугольник AECF
Четырёхугольник AECF в свою очередь состоит из двух равных треугольников AEC и ACF
Значит площадь треугольника ABE в два раза больше площади треугольника AEC
AH - высота для треугольника ABE и треугольника AEC
АН = АB*sin(HBA) = AB*sin(BAD) = a*sin(α)
Т.к. высота для треугольника ABE и треугольника AEC общая, то их площади относятся как основания треугольников
и ВЕ = 2EC = 2/3a
По теореме косинусов
AE^2 = AB^2 + BE^2 - 2*AB*BE*cos(π-α) = a^2 + 4/9*a^2 + 2*a*2/3*a*cos(α) = 13/9*a^2 + 4/3*a^2*cos(α) = a^2*(13/9 + 4/3*cos(α))
AE = a*(13/9 + 4/3*cos(α))^(1/2)
Нехай задано рівнобічну трапецію ABCD, основи паралельні AD||BC, сторони AB=CD рівні між собою, BH⊥AD, де BH=12 см – висота трапеції, опущена на сторону AD,
AH=5 см, HD=11 см, звідси AD=AH+HD=5+11=16 см.
Розглянемо прямокутний трикутник ABH (∠AHB=90) та знайдемо за формулою Піфагора гіпотенузу AB:
AB^2=AH^2+BH^2, звідси
Оскільки трапеція ABCD – рівнобічна, то відповіні сторони рівні CD=AB=13 см.
Опустимо ще одну висоту CK на сторону AD, тоді кут прямий CK⊥AD (∠CKD=90).
Розглянемо прямокутні трикутники ABH і KCD.
У них ∠BAH=∠CKD – як кути при основі AD у рівнобічній трапеції ABCD (за властивістю), і CD=AB=13 см.
Тому, за ознакою рівності прямокутних трикутників, трикутники ABH і KCD рівні (за гіпотенузою і гострим кутом), звідси слідує AH=KD=5 см.
Тоді у рівнобічній трапеції:
HK=HD-KD=11-5=6 см, тому BC=HK=6 см.
Знайдемо периметр рівнобічної трапеції ABCD:
P=AB+BC+CD+AD=13+6+13+6=48 см.
Відповідь: 48 см – В.
Приклад 32.12 Дві менші сторони прямокутної трапеції дорівнюють a, а один з її кутів – 450.
Визначити площу трапеції.
Обчислення: Наведемо рисунок прямокутної трапеції
У трапецію ABCD відомо: AD||BC, AB⊥AD, AB=BC=a – менші сторони трапеції, ∠ADC=45 (як єдиний гострий кут прямокутної трапеції).
Оскільки бічна сторона перпендикулярна до основи AB⊥AD, то AB=a – висота прямокутної трапеції.
Опустимо ще одну висоту CK на сторону AD, тобто CK⊥AD (∠CKD=90).
Очевидно, що вона також рівна заданій стороні CK=AB=a.
У прямокутному трикутнику KCD (∠CKD=90, ∠CDK=45), тому ∠DCK=45 (за сумою кутів трикутника), і робимо висновок,що трикутник ΔKCD – рівнобедрений.
Тобто, CK=DK=a (тут AK=BC=a як протилежні сторони квадрата ABCK).
Звідси AD=AK+KD=a+a=2a.
Знайдемо площу прямокутної трапеції:
Цю площу можна було знайти в легший б, розписавши як суму площ квадрата S[ABCK]=a^2 і прямокутного трикутника S[kcd]=a^2/2
Відповідь: 3/2•a^2 – Д.
Приклад 32.15 Точка O, яка є перетином діагоналей трапеції ABCD (AD||BC), ділить діагональ AC на відрізки AO=8 см і AC=4 см.
Знайти основу BC, якщо AD=14 см.
Обчислення: Нехай маємо трапецію ABCD, AD||BC, AD=14 см, AC=4 см, AO=8 см, де AC і BD – діагоналі трапеції ABCD, які перетинаються в точці O.
Розглянемо трикутники AOD і COB.
В них ∠AOD=∠COB як вертикальні.
∠OAD=∠OCB і ∠ADO=∠CBO як внутрішні різносторонні кути при перетині січною AC паралельних прямих AD і BC.
Звідси слідує, що ΔAOD~ΔCOB (тобто трикутники подібні за трьома кутами).
З цього слідує, що їх відповідні сторони пропорційні, тобто
звідси
Отже, BC=7 см – основа трапеції.
Відповідь: 7 см – В.
Приклад 32.16 Менша основа трапеції дорівнює 20 см. Точка перетину діагоналей віддалена від основ на 5 і 6 см.
Знайдіть площу трапеції.
Обчислення: До умови задано рисунок, який має вигляд
Для трапеції записуємо все що на момент прочитання умови відомо:
AD||BC, BC=20 см, MO=5 см, ON=8 см, де AC і BD – діагоналі трапеції ABCD, які перетинаються в точці O, MO та ON – відстані від точки O до основ трапеції BC і AD, відповідно (тобто MO⊥BC, ON⊥AD).
Розглянемо трикутники AOD і COB. В них ∠AOD=∠COB як вертикальні.
∠OAD=∠OCB і ∠ADO=∠ CBO як внутрішні різносторонні кути при перетині січною AC паралельних прямих AD і BC.
Звідси робимо висновок, що ΔAOD~ΔCOB (тобто трикутники подібні за трьома кутами).
З цього слідує, що їх відповідні сторони (а значить і висоти MO та ON цих трикутників) пропорційні, тобто
звідси
Оскільки MO⊥BC, ON⊥AD, то MN⊥AD (або MN⊥BC), звідси слідує, що MN – висота трапеції (тобто точки M, O і N лежать на одній прямій).
Отже, MN=MO+ON=5+6=11 см.
Знайдемо площу трапеції:
Відповідь: 242 см2 – Г.