за развёрнутый ответ. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна корень 5 см, боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45 градусов. а) Найдите боковое ребро пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Добрый день!
Предлагаю решить эту задачу шаг за шагом.
а) Для нахождения бокового ребра пирамиды, мы можем использовать теорему Пифагора, так как у нас есть высота пирамиды и угол между высотой и боковым ребром.
1) Обозначим боковое ребро как b. Теперь мы можем составить прямоугольный треугольник, в котором b будет гипотенузой, высота пирамиды - одним катетом, а другой катет будет называться проекцией этой высоты на основание пирамиды.
2) Мы знаем, что угол между высотой и боковым ребром равен 45 градусов. Так как у нас прямоугольный треугольник, то проекция высоты на основание является его катетом.
3) Теперь применим формулу теоремы Пифагора: квадрат гипотенузы (b) равен сумме квадратов катетов. Запишем это в уравнении: b^2 = h^2 + p^2, где h - высота пирамиды, а p - проекция высоты на основание.
4) Для нахождения проекции высоты на основание, нам понадобится знание математических связей в прямоугольных треугольниках. Здесь нам поможет тригонометрический тангенс (tg). Мы знаем, что tan(45 градусов) = p / h. Подставим полученное значение и заменим p в уравнении.
Итак, получаем такие выкладки:
b^2 = h^2 + p^2 → b^2 = h^2 + (tg(45 градусов) * h)^2 → b^2 = h^2 + h^2 → b^2 = 2 * h^2 → b = √(2 * h^2)
Зная, что высота равна корню из 5 см (h = √5), мы можем подставить значение и решить уравнение:
b = √(2 * (√5)^2) → b = √(2 * 5) → b = √10
Таким образом, боковое ребро пирамиды равно корню из 10 см (b = √10 см).
б) Для нахождения площади боковой поверхности пирамиды, мы можем воспользоваться формулой площади боковой поверхности для правильной пирамиды: S = (периметр основания пирамиды) * (половина высоты).
1) У нас есть только боковое ребро пирамиды, поэтому нам нужно найти периметр основания. Зная, что основание пирамиды - правильный четырехугольник, мы можем разделить его на 4 равных равнобедренных треугольника.
2) Проведем высоту треугольника (это будет половина стороны основания), обозначим ее как a/2.
3) Мы знаем, что у этих треугольников углы при основании равны 45 градусов, а углы при вершине - 90 градусов. Зная эти углы, мы можем применить свойства равнобедренных треугольников и найти значения сторон треугольника.
4) Так как у нас равнобедренный прямоугольный треугольник, то a/2 будет равно результату вычисления длины катета, когда один катет равен b/√2:
a/2 = (b/√2)/√2 = b / (2 * √2) = b / √8
Мы получили значение половины стороны основания в зависимости от бокового ребра.
5) Теперь найдем периметр основания, просуммировав значения всех сторон. У нашего правильного четырехугольника все стороны равны, поэтому периметр будет равен 4 * а = 4 * (a/2) = 4 * (b / √8) = (4 * b) / √8 = (4 * √10) / √8 = (4 * √10) / (2 * √2) = (2 * √10) / √2 = 2 * √5.
Таким образом, периметр основания пирамиды равен 2 * √5.
Теперь, зная периметр основания и высоту пирамиды, мы можем найти площадь боковой поверхности, используя формулу S = (периметр основания пирамиды) * (половина высоты):
S = (2 * √5) * (√5 / 2) = √5 * √5 = 5 см².
Таким образом, ответ на вторую часть вопроса - площадь боковой поверхности пирамиды равна 5 квадратным сантиметрам.
Предлагаю решить эту задачу шаг за шагом.
а) Для нахождения бокового ребра пирамиды, мы можем использовать теорему Пифагора, так как у нас есть высота пирамиды и угол между высотой и боковым ребром.
1) Обозначим боковое ребро как b. Теперь мы можем составить прямоугольный треугольник, в котором b будет гипотенузой, высота пирамиды - одним катетом, а другой катет будет называться проекцией этой высоты на основание пирамиды.
2) Мы знаем, что угол между высотой и боковым ребром равен 45 градусов. Так как у нас прямоугольный треугольник, то проекция высоты на основание является его катетом.
3) Теперь применим формулу теоремы Пифагора: квадрат гипотенузы (b) равен сумме квадратов катетов. Запишем это в уравнении: b^2 = h^2 + p^2, где h - высота пирамиды, а p - проекция высоты на основание.
4) Для нахождения проекции высоты на основание, нам понадобится знание математических связей в прямоугольных треугольниках. Здесь нам поможет тригонометрический тангенс (tg). Мы знаем, что tan(45 градусов) = p / h. Подставим полученное значение и заменим p в уравнении.
Итак, получаем такие выкладки:
b^2 = h^2 + p^2 → b^2 = h^2 + (tg(45 градусов) * h)^2 → b^2 = h^2 + h^2 → b^2 = 2 * h^2 → b = √(2 * h^2)
Зная, что высота равна корню из 5 см (h = √5), мы можем подставить значение и решить уравнение:
b = √(2 * (√5)^2) → b = √(2 * 5) → b = √10
Таким образом, боковое ребро пирамиды равно корню из 10 см (b = √10 см).
б) Для нахождения площади боковой поверхности пирамиды, мы можем воспользоваться формулой площади боковой поверхности для правильной пирамиды: S = (периметр основания пирамиды) * (половина высоты).
1) У нас есть только боковое ребро пирамиды, поэтому нам нужно найти периметр основания. Зная, что основание пирамиды - правильный четырехугольник, мы можем разделить его на 4 равных равнобедренных треугольника.
2) Проведем высоту треугольника (это будет половина стороны основания), обозначим ее как a/2.
3) Мы знаем, что у этих треугольников углы при основании равны 45 градусов, а углы при вершине - 90 градусов. Зная эти углы, мы можем применить свойства равнобедренных треугольников и найти значения сторон треугольника.
4) Так как у нас равнобедренный прямоугольный треугольник, то a/2 будет равно результату вычисления длины катета, когда один катет равен b/√2:
a/2 = (b/√2)/√2 = b / (2 * √2) = b / √8
Мы получили значение половины стороны основания в зависимости от бокового ребра.
5) Теперь найдем периметр основания, просуммировав значения всех сторон. У нашего правильного четырехугольника все стороны равны, поэтому периметр будет равен 4 * а = 4 * (a/2) = 4 * (b / √8) = (4 * b) / √8 = (4 * √10) / √8 = (4 * √10) / (2 * √2) = (2 * √10) / √2 = 2 * √5.
Таким образом, периметр основания пирамиды равен 2 * √5.
Теперь, зная периметр основания и высоту пирамиды, мы можем найти площадь боковой поверхности, используя формулу S = (периметр основания пирамиды) * (половина высоты):
S = (2 * √5) * (√5 / 2) = √5 * √5 = 5 см².
Таким образом, ответ на вторую часть вопроса - площадь боковой поверхности пирамиды равна 5 квадратным сантиметрам.