Задача 1. Точка А лежить на колі з центром в точці О, а пряма АМ дотикається до кола. Знайдіть кути трикутника АOМ, якщо кут АОМ на 25°30' більший за кут АМО.

В цилиндр вписана призма.
Основанием призмы служит прямоугольный треугольник,
катет которого = 2а , а прилежащий угол = 60 градусов.
Диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью его основания угол=45 градусов.
Найдите объём цилиндра.   

Объем цилиндра равен произведению высоты на площадь его основания.
V=SH
Обратим внмание на то, что в основании призмы лежит прямоугольный треугольник АВС c прямым углом С,  катет ВС которого прилежит к углу 60°, следовательно, противолежит углу 30°, и потому гипотенуза АВ этого треугольника равна двум таким катетам. 
Гипотенуза прямоугольного треугольника - диаметр описанной около него окружности. 
АВ=2*2а=4а
R=4а:2=2а 
Большая боковая грань - грань, горизонтальными сторонами которой служат диаметры оснований, т.е.  грань АВКН. 
Т.к. диагональ  АК  большей грани с плоскостью основания составляет угол 45°, треугольник АКВ - прямоугольный равнобедренный, АВ=ВК , высота цилиндра  ВК равна диаметру основания и равна 4а.
 V=SH=πr²Н=π*4а²*4а=16πа³

Минимальное расстояние от точки до прямой - перпендикуляр.

Из концов диаметра опускаем перпендикуляры на касательную.

Получаем прямоугольную трапецию с основаниями 22 и 12 см.

Большая боковая сторона трапеции равна двум радиусам.

Т.е. цент окружности точка О делит боковую сторону пополам.

Из точки О к касательной проведем радиус. Он перпендикулярен касательной, а значит параллелен основаниям трапеции.

Получается, что это средняя линия трапеции. Она равна (22+12):2 = 17 см.

А это радиус окружности.   А диаметр равен 17*2 = 34 см.