Задан конус, площадь осевого сечения которого равна 4v3 см2. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 30°.
Найдите: а) радиус основания и высоту конуса.

ответ: 6 см

Объяснение:  Одна из формул площади четырёхугольника S=d1•d2•sinβ,  где  d1 и d2 - диагонали, а β- любой из углов между ними.  Прямоугольник - четырехугольник с равными диагоналями. Поэтому площадь основания данного параллелепипеда Ѕ=d²•sin30°/2.

  Так как параллелепипед прямоугольный, боковые ребра равны его высоте. Каждое из них с диагональю основания – катеты прямоугольного  треугольника, гипотенуза которого (она же диагональ параллелепипеда) образует с плоскостью основания угол 60° (дано). Тогда высота h=d•tg60°. Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту:  V=S•h=d²•sin30°•d•tg60° =>  18=(d³√3):4 ⇒

d³•√3=18•4 ⇒  d=2√3

h=2√3•√3=6 (см)

Переводим всё в одни и те же единицы измерения, сантиметры
Основания 60 см 20 см
боковые стороны 13 см 37 см
Если высота трапеции h, то боковые стороны вместе со своими проекциями и высотами образуют прямоугольные треугольники
И по теореме Пифагора можно вычислить проекции на основание боковых сторон
для коротенькой стороны
p₁² + h² = 13²
для длинной
p₂² + h² = 37²
и сумма проекция и короткой стороны равна большей стороне
p₁ + p₂ + 20 = 60
p₁ + p₂ = 40
p₂ = 40 - p₁
---
p₁² + h² = 13²
(40 - p₁)² + h² = 37²
---
вычтем из второго первое
(40 - p₁)² - p₁² = 37² - 13²
(40 - p₁ - p₁)(40 - p₁ + p₁) = (37 - 13)(37 + 13)
(40 - 2p₁)40 = 24*50
40 - 2p₁ = 6*5
20 - p₁ = 3*5
20 - p₁ = 15
p₁ = 5 см
---
p₁² + h² = 13²
5² + h² = 13²
h² = 169 - 25
h² = 144
h = 12 см
---
И площадь трапеции
S = 1/2(60 + 20)*12 = 80*6 = 480 см²