Задан квадрат ABCD, диагонали которого пересекаются в точке O. К плоскости квадрата ABCD провели перпендикуляр KB. Докажите, что прямая AC перпендикулярна плоскости KBO.
МN || АС, значит MN ⊥ АВ Прямоугольный треугольник АМN равен прямоугольному треугольнику BMN по двум катетам: МN - общая сторона AM = MB по условию ( М- середина АВ) Из равенства треугольников следует, АN = BN=8 см Так как угол NBC равен 60°, то угол АВN равен 90°-60°=30°. В прямоугольном треугольнике катет против угла в 30° равен половине гипотенузы. MN= 4 см. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АMN: АМ²=AN²-MN² = 8² - 4²=64 - 16 = 48 AM = 4√3 cм S (Δ AMN) = (AM· MN)/2 = (4√3·4)/2=8√3 кв. см
S(abk)=S(amk)=1/2 S(abm) = 1/4 S(abc) (аналогично с 1) Т.к ВК=КМ то ВМ=1/2 * ВК Допольнительное построение: Прямая проходящая через точку В и паралельная АС; Продлеваем АР до пересечения с прямой и ставим точку Е Треугольник ВКЕ подобен АКМ ( по 2 углам(ВЕК=КАМ накрест лежащие при прямых ВЕ и АС , секущей АЕ и ВКЕ=АКМ вертикальные)=> АМ/ВЕ=КМ/ВК, т.к КМ=ВК то АМ=ВЕ => ВЕ=1/2 * АС Треугольник ВРЕ подобен АРС ( по 2 углам (ВРЕ=АРС вертикальные и ВЕК=КАМ накрест лежащие при прямых ВЕ и АС , секущей АЕ) => РС/ВР=АС/ВЕ, т.к ВЕ=1/2 * АС то РС/ВР= 2/1 => ВР/ВС=1/3
Проведем MH параллельно AP
MH - средняя линия ACP (так как MH параллельна AP и AM=MC) (по признаку средней линии)=>PH=HC(по определению средней линии)
KP - средняя линия BMН (по признаку средней линии) =>PH=PB(по определению средней линии)
PH=HC; PH=PB =>PH=HC=PB S(bkp)=1/2* sin(КBР) * BK* BP (площадь треугольника равна произведение сторон на синус угла между ними) S(mbc)=1/2* sin(КBР) * BM*BC (площадь треугольника равна произведение сторон на синус угла между ними)
S(bkp)/ S(mbc)= 1/2 * sin(КBР) * BK* BP/1/2* sin(КBР) * BM*BC ( при этом мы знаем, что BK=1/2 * BM и BP = 1/3 * BC)=> S(bkp)/ S(mbc)=1/6
Прямоугольный треугольник АМN равен прямоугольному треугольнику BMN по двум катетам:
МN - общая сторона
AM = MB по условию ( М- середина АВ)
Из равенства треугольников следует, АN = BN=8 см
Так как угол NBC равен 60°, то угол АВN равен 90°-60°=30°.
В прямоугольном треугольнике катет против угла в 30° равен половине гипотенузы.
MN= 4 см.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АMN:
АМ²=AN²-MN² = 8² - 4²=64 - 16 = 48
AM = 4√3 cм
S (Δ AMN) = (AM· MN)/2 = (4√3·4)/2=8√3 кв. см
AК - медиана треугольника AMB, так как BK=KM
S(abk)=S(amk)=1/2 S(abm) = 1/4 S(abc) (аналогично с 1) Т.к ВК=КМ то ВМ=1/2 * ВК Допольнительное построение: Прямая проходящая через точку В и паралельная АС; Продлеваем АР до пересечения с прямой и ставим точку Е Треугольник ВКЕ подобен АКМ ( по 2 углам(ВЕК=КАМ накрест лежащие при прямых ВЕ и АС , секущей АЕ и ВКЕ=АКМ вертикальные)=> АМ/ВЕ=КМ/ВК, т.к КМ=ВК то АМ=ВЕ => ВЕ=1/2 * АС Треугольник ВРЕ подобен АРС ( по 2 углам (ВРЕ=АРС вертикальные и ВЕК=КАМ накрест лежащие при прямых ВЕ и АС , секущей АЕ) => РС/ВР=АС/ВЕ, т.к ВЕ=1/2 * АС то РС/ВР= 2/1 => ВР/ВС=1/3
Проведем MH параллельно AP
MH - средняя линия ACP (так как MH параллельна AP и AM=MC) (по признаку средней линии)=>PH=HC(по определению средней линии)
KP - средняя линия BMН (по признаку средней линии) =>PH=PB(по определению средней линии)
PH=HC; PH=PB =>PH=HC=PB S(bkp)=1/2* sin(КBР) * BK* BP (площадь треугольника равна произведение сторон на синус угла между ними) S(mbc)=1/2* sin(КBР) * BM*BC (площадь треугольника равна произведение сторон на синус угла между ними)
S(bkp)/ S(mbc)= 1/2 * sin(КBР) * BK* BP/1/2* sin(КBР) * BM*BC ( при этом мы знаем, что BK=1/2 * BM и BP = 1/3 * BC)=> S(bkp)/ S(mbc)=1/6
S(bkp)/ S(mbc)=1/6 => S(cmkp)/ S(mbc)=5/6 S(mbc)=1/2 S(abc) (из доказаного выше) => S(cmkp)/ S(abc) = 5/12 S(abk)/S(kpcm) = 1/4 S(abc)/ 5/12S(abc)= 3/5