Задан квадрат ABCD, диагонали которого пересекаются в точке O. К плоскости квадрата ABCD провели перпендикуляр KB. Докажите, что прямая AC перпендикулярна плоскости KBO.
3. Основание пирамиды - прямоугольный треугольникАВС, а ее высота SA - перпендикуляр из вершины А. Тогда боковые грани ASB и ASC - прямоугольные треугольники. По Пифагору ВС=√(36+36)=6√2см. СS=√(64+36)=10см. CS=BS. SH=√(CS²-CH²)=√(100-18)=√82см. Scsb=(1/2)BC*SH=3√2*√82=3√164=12√41см². Sabc=18см². Sasc+Sasb=48см². Sб=Sasc+Sasb+Scsb=48+12√41см². So=18см². Полная поверхность равна So+Sб=18+48+12√41=66+12√41см².
4. Апофема боковой грани равна по Пифагору √(10²-6²)=8см. Площадь боковой грани по Пифагору равна Sгр=(1/2)*12*8=48см². Площадь боковой поверхности равна Sб=3*48=144 см². Площадь основания по формуле So=√3*а²/4 равна: So=√3*12²/4=36√3 см². Площадь полной поверхности пирамиды равна S=So+Sб=144+36√3=36(4+√3) см².
5. У прямоугольного параллелепипеда все грани - прямоугольники. Большая боковая рань параллелепипеда делится диагональю на два прямоугольных треугольника, в которых один из катетов (большая сторона основания параллелепипеда) лежит против угла 30° (так как второй острый угол равен 60° - дано). Значит диагональ большей грани параллелепипеда равна 5*2=10см, а высота параллелепипеда по Пифагору равна h=√(10²-5²)=5√3 см. Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна периметру основания, умноженному на высоту, то есть Sбок=2(5+3)*5√3=80√3 см². Площадь основания (прямоугольника) равна произведению его сторон, то есть So=15 см². Полная поверхность равна S=2So+sбок=30+80√3 см².
Высота, проведенная к основанию в равнобедренном треугольнике, является биссектрисой и медианой, откуда АН=НС
3. ОС=ОВ=ОА=25 как радиусы одной окружности ⇒ треугольники АОВ и ВОС являются равнобедренными с основаниями АВ и ВС, к тому же тругольники равны по трем сторонам (АВ=ВС, АО=ОС, ОВ - общая сторона)
4. Треугольник АНО - прямоугольный, угол АНО=90 градусов. В этом треугольнике гипотенуза АО=25, а катет ОН=ВН-ВО=49-25=24
По теореме Пифагора:
АО²=АН²+ОН², откуда АН²=АО²-ОН²
АН²=625-576=49
АН=±7, но АН-сторона, отрицательной она не может быть ⇒ АН=7
СS=√(64+36)=10см.
CS=BS.
SH=√(CS²-CH²)=√(100-18)=√82см.
Scsb=(1/2)BC*SH=3√2*√82=3√164=12√41см².
Sabc=18см².
Sasc+Sasb=48см².
Sб=Sasc+Sasb+Scsb=48+12√41см².
So=18см².
Полная поверхность равна So+Sб=18+48+12√41=66+12√41см².
4. Апофема боковой грани равна по Пифагору √(10²-6²)=8см.
Площадь боковой грани по Пифагору равна Sгр=(1/2)*12*8=48см².
Площадь боковой поверхности равна Sб=3*48=144 см².
Площадь основания по формуле So=√3*а²/4 равна:
So=√3*12²/4=36√3 см².
Площадь полной поверхности пирамиды равна S=So+Sб=144+36√3=36(4+√3) см².
5. У прямоугольного параллелепипеда все грани - прямоугольники. Большая боковая рань параллелепипеда делится диагональю на два прямоугольных треугольника, в которых один из катетов (большая сторона основания параллелепипеда) лежит против угла 30° (так как второй острый угол равен 60° - дано). Значит диагональ большей грани параллелепипеда равна 5*2=10см, а высота параллелепипеда по Пифагору равна h=√(10²-5²)=5√3 см.
Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна периметру основания, умноженному на высоту, то есть Sбок=2(5+3)*5√3=80√3 см².
Площадь основания (прямоугольника) равна произведению его сторон, то есть So=15 см².
Полная поверхность равна S=2So+sбок=30+80√3 см².
1. дополнительное построение: ОС и ОА
2. ВН - высота, ВН=49
Высота, проведенная к основанию в равнобедренном треугольнике, является биссектрисой и медианой, откуда АН=НС
3. ОС=ОВ=ОА=25 как радиусы одной окружности ⇒ треугольники АОВ и ВОС являются равнобедренными с основаниями АВ и ВС, к тому же тругольники равны по трем сторонам (АВ=ВС, АО=ОС, ОВ - общая сторона)
4. Треугольник АНО - прямоугольный, угол АНО=90 градусов. В этом треугольнике гипотенуза АО=25, а катет ОН=ВН-ВО=49-25=24
По теореме Пифагора:
АО²=АН²+ОН², откуда АН²=АО²-ОН²
АН²=625-576=49
АН=±7, но АН-сторона, отрицательной она не может быть ⇒ АН=7
5. АС=АН+НС=14
6. Sabc=0,5*AC*BH=0,5*14*49=7*49=343
ответ: Sabc=343